Задача с равенствами. Классическое правило множителей Лагранжа

 

Пусть дана задача: (1)

Первоначально Лагранж считал, что в теореме 1 можно для любых задач положить , то есть правило справедливо для классической функции Лагранжа. Однако это было ошибкой. Покажем это на следующем примере.

Оказывается, что из задачи (1) можно выделить такой подкласс, который с одной стороны является очень широким (практически все важные и интересные задачи принадлежат ему), а с другой стороны, для которого правило Лагранжа справедливо в классической форме.

Определение. Некоторый план задачи (1) (здесь необязательно оптимальный) будем называть обыкновенным, если вектора

(7)

линейно независимы .

Теорема 2 (Классическое правило множителей Лагранжа). Если – обыкновенный локально-оптимальный план задачи (1), то всегда найдётся такой единственный классический вектор Лагранжа , что выполняется условие:

(8)

Доказательство. Пусть – обыкновенный локально-оптимальный план. В силу локальной оптимальности для него справедлива теорема 1. В частности, условия (5) или (5*). Докажем, что в силу обыкновенности в (5*) множитель . Предположим противное, то есть . Тогда из условия (5*) получаем

, (9)

в котором не все множители нулевые. Тогда (9) означает линейную зависимость векторов и противоречит обыкновенности .

Итак, . Разделим тогда выражение (5*) на и переобозначим: , тогда придём к условию (8).

Докажем единственность . Предположим противное. Найдётся ещё один вектор Лагранжа такой, что . Вычитая из этого равенства равенство (8), придём к , причём не все коэффициенты . Это означает линейную зависимость векторов (7) и снова противоречит обыкновенности .

Ч.т.д.

Обсуждение. Теорема 1 и теорема 2 вместе составляют так называемый принцип Лагранжа снятия ограничений в задаче (1). Согласно которому и оптимальный план, и все локально оптимальные планы должны удовлетворять либо (5), либо (8), и поэтому должны находится среди решений систем

(10)

для обыкновенного плана и

(11)

если не является обыкновенным.

Каждая из систем (10) и (11) представляет собой систему уравнений относительно неизвестных . Среди решений этих систем и только среди них нужно искать .

Определение. Задача (1) называться нормальной, если – обыкновенный оптимальный план.

Определение. Пара называется условно-стационарной точкой задачи (1),если она является решением системы (10).

Принцип Лагранжа или теорему 2 можно переформулировать:

Если – локально-оптимальный план, то его нужно искать среди условно-стационарных точек задачи (1). Так как , то система (10) может быть записана в виде:

(10*)

Таким образом, условно-стационарные точки как бы являются решением задачи на безусловный экстремум:

.