Задача с равенствами. Другое доказательство принципа Лагранжа

Пусть дана задача: (1)

Пусть − локально оптимальный план этой задачи. Возможны следующие случаи:

1. − обыкновенный локально-оптимальный план, . В этом случае справедливо необходимое условие первого порядка. Применяя тогда к формулам (12), (17) теорему Фаркаша о неравенстве вследствие равенств, приходим к выводу, что найдутся такие числа , что . Перенося в этом равенстве все слагаемые влево и полагая , получим условие стационарности: .

А это означает, что в нашем случае справедливо классическое правило множителей Лагранжа. Единственность вектора следует из обыкновенности плана.

2. − обыкновенный локально-оптимальный план, , тогда вектора (7) образуют базис в и любой вектор можно разложить по этому базису. Разложим вектор . А это равенство снова приводит к условию стационарности, то есть и для второго случая справедливо классическое правило множителей Лагранжа.

3. − не является обыкновенным планом. Тогда вектора (7) зависимы и существует , не все равные нулю, что существует . Положим , и добавим нулевое слагаемое в последней сумме.

.

Это будет означать, что и существует . То есть в третьем случае справедливо обобщённое классическое правило множителей Лагранжа.

Принцип Лагранжа доказан, так как других случаев для быть не может.