Задача с равенствами. Условия оптимальности второго порядка(1) Будем предполагать, что функции и имеют нужную гладкость. Теорема 1 (Необходимое условие оптимальности второго порядка). Пусть − обыкновенный локально-оптимальный план задачи (1) и пусть соответствующий ему вектор Лагранжа. Тогда для любого вектора допустимого по ограничениям выполняется неравенство . Доказательство. Пусть − обыкновенный локально-оптимальный план. Возьмём произвольный вектор , который удовлетворяет условию (12). По и , согласно лемме о включении найдутся планы , . Рассмотрим функцию . Из локальной оптимальности следует, что у задачи оптимальным планом будет . Известно, что для функции одной переменной достаточно гладкой необходимым условием оптимальности будет . Распишем условие неотрицательности: (21) Рассмотрим очевидное тождество . . Если это тождество продифференцировать дважды по , то получим снова тождественный нуль. А если потом рассмотреть это тождество при , то получим равное нулю выражение: (22) Если теперь сложить равенства (21) и (22), то с учётом вида функции Лагранжа придём к неравенству: следовательно . Ч.т.д. Теорема 2 (Достаточное условие оптимальности). Пусть пара − условно-стационарная точка задачи (1). Тогда, если для любого вектора удовлетворяющего условию (12) и выполняется условие , то − локально-оптимальный план задачи (1).
|