Задача с неравенствами. Необходимое условие оптимальности первого порядка

 

Пусть дана задача: (1)

Определение. Пусть – некоторый план, то есть . Говорят, что ое ограничение задачи (1) активно на этом плане, если оно принимает вид и пассивно, если .

Обозначим .

Ясно, что если – внутренняя точка, то .

Теорема 1. Пусть – локально-оптимальный план задачи (1). Тогда несовместна система неравенств:

(2)

(3)

Тогда система нер-в несовместна.

Доказательство. Пусть – локально-оптимальный план задачи (1). Предположим противное, то есть найдётся такой вектор , который удовлетворяет системе (2)-(3). Построим вектор . Докажем, что является планом задачи (1). Действительно, если , то получаем

при достаточно малых положительных .

Если , то при достаточно малых положительных .

Итак, при достаточно малых положительных – планы и они лежат в сколь угодно малой окрестности . Тогда получаем разложение:

неравенство противоречит локальной оптимальности .

Противоречие доказывает теорему.

Ч.т.д.

18. Задача снеравенствами. Обобщённое правило множителей Лагранжа

 

Пусть дана задача: (1)

Теорема 2. Пусть – локально-оптимальный план задачи (1). Тогда найдётся такой обобщённый вектор Лагранжа , что

1.

 

2. , не все равные нулю

3.

Доказательство.

1. Пусть – локально-оптимальный план задачи (1). Тогда справедлива теорема 1, то есть, несовместна система неравенств (2)-(3). Применим к ней теорему Фаркаша о несовместности системы неравенств. Согласно теореме найдутся такие числа , не все равные нулю, что будет выполняться условие

(4)

Положим тогда остальные =0, и, добавив в (4) нулевые слагаемые, получим:

(5)

Это и есть условие стационарности (1).

2. Условие неотрицательности следует из теоремы Фаркаша.

3. Для получаем:

, так как по определению.

Для получаем:

, так как =0 по предположению.

Ч.т.д.