Рівняння руху механізму

Для визначення законів руху початкових ланок за заданими силами використовуються рівняння, що називаються рівняннями руху механізму. Число цих рівнянь дорівнює числу ступенів рухомості механізму.

Рівняння руху механізму можуть бути представлені в різних формах. Для механізмів з одним ступенем вільності одна з найпростіших форм рівнянь отримується на основі теореми про зміну кінетичної енергії: зміна кінетичної енергії механізму на деякому переміщенні дорівнює сумі робіт усіх сил, що діють на ланки механізму на цьому самому переміщенні. Цей закон подають у вигляді рівняння

(4.9)

де Т – кінетична енергія механізму в довільному положенні; Т ₀ – кінетична енергія механізму в положенні, що приймається за початкове; – алгебраїчна сума робіт усіх сил і моментів, що прикладені до механізму на деякому переміщенні.

Роботу здійснюють усі активні сили і моменти та сили тертя у всіх кінематичних парах механізму.

Рівняння руху в енергетичній формі. Зведемо усі сили і моменти механізму з одним ступенем вільності до однієї ланки зведення, тобто замінимо розглядуваний механізм його динамічною моделлю. Оскільки все навантаження, прикладене до моделі, виражається зведеним моментом М_ЗВ, то права частина рівняння (4.9) дорівнює

(4.10)

а саме рівняння (4.9), враховуючи (4.6), можна записати у вигляді

. (4.11)

Рівняння (4.11) називають рівнянням руху механізму в енергетичному виді, або – в формі рівняння кінетичної енергії. Загалом верхня межа інтегрування в (4.11) вважається змінною.

Якщо все навантаження, що прикладене до механізму, залежить тільки від його положення (і не залежить від ), то рівняння (4.10) розв’язується безпосередньо відносно шуканої величини

. (4.12)

При заданих функціях І_ЗВ, М_ЗВ і відомій швидкості в початковий момент, рівняння (4.12) дозволяє визначити значення при різних переміщеннях ланки зведення. Таким чином можна отримати дійсний закон руху механізму.

Якщо дослідження механізму починається з моменту пуску (тобто ), то (4.12) набуде вигляду

.

Аналогічно (4.11) можна представити рівняння руху механізму, якщо всі сили і маси зводяться до вибраної точки зведення В

. (4.13)

Рівняння руху в диференційній формі. Рівняння руху механізму в енергетичній формі (4.11) використовується, переважно, у випадках коли зведені силові фактори залежать від положень ланок. В інших випадках використовується диференційне рівняння руху механізму, яке можна отримати, продиференціювавши рівняння (4.11) по координаті

або, враховуючи, що в загальному випадку змінною величиною є не тільки , але й І_ЗВ, після нескладних перетворень одержимо

. (4.14)

Рівняння (4.14) називається рівнянням руху в диференційній формі, оскільки шукана змінна величина – кутова швидкість початкової ланки, знаходиться під знаком похідної.

У випадку, коли досліджуваний механізм має І_ЗВ=const, то рівняння (4.14) спрощується і має вигляд

Для визначення кутового прискорення початкової ланки розв’яжемо рівняння (4.14) відносно

.

Похідна обчислюється чисельним диференціюванням на ЕОМ, або графічним диференціюванням, якщо це не можливо зробити аналітично.