Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона)

в векторной форме:

, или ,

где - геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; m – масса; – ускорение; – импульс; n – число сил, действующих на точку;

в координатной (скалярной) форме:

; ; ,

или

; ; ,

где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.

Сила упругости –

,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины жесткости); x – абсолютная деформация.

Сила гравитационного взаимодействия –

,

где G – гравитационная постоянная; и - массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки; r – расстояние между ними.

Сила трения скольжения –

,

где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

Значения координат центра масс системы материальных точек –

; ; ,

где – масса - й точки; – координаты точки.

Закон сохранения импульса –

, или ,

где n – число материальных точек или тел, входящих в систему.

Работа, совершаемая постоянной силой, –

, или ,

где – угол между направлениями векторов силы и перемещения .

Работа, совершаемая переменной силой, –

,

причем интегрирование ведётся вдоль траектории, обозначаемой L.

Средняя мощность за интервал времени –

.

Мгновенная мощность –

, или ,

где dA – работа, совершаемая за промежуток времени dt.

Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося посту­пательно) –

, или .

Соотношение потенциальной энергии тела и силы, действующей на него в данной точке поля, –

, или ,

где – единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (например, гравитационное), –

.

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины) –

.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами и , находящихся на некотором расстоянии друг от друга, -

.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, –

,

где h – высота нахождения тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчёта потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии, что h< < R, где R – радиус Земли.

Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде

Применив законы сохранения энергии и импульса в случае прямого центрального удара шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров

и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:

,

,

где и – скорости шаров до удара; и – их массы.