ЛОГИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЛОЖНЫМИ СУЖДЕНИЯМИ

Сложные суждения могут быть сравнимыми и несравнимыми.

Несравнимые – это суждения, которые не имеют общих составляющих (пропозициональных) переменных. Например, р ∩ g и m ∩ n.

Сравнимые – это суждения, которые имеют одинаковые составляющие (пропозициональные) переменные и различаются логическими связками, включая отрицание. Например, сравнимыми являются следующие два суждения: «Украина или Болгария имеют выход в Черное море» (р U g); «Ни Украина, ни Болгария не имеют выхода в черное море» (┐ р ∩ ┐ g).

Сложные сравнимые суждения могут быть совместимыми и несовместимыми.

Совместимыми являются такие сравнимые суждения, которые одновременно могут быть истинными. Различают три вида совместимости сложных суждений: эквивалентности; частичная совместимость и подчинение.

Эквивалентные – это суждения, которые принимают одни и те значения, т. е. одновременно являются либо истинными, либо ложными.

Отношение эквивалентности позволяет выражать одни сложные суждения через другие – конъюнкцию через дизъюнкцию или импликацию, и наоборот.

- выражение конъюнкции через дизъюнкцию: ┐ (а ∩ b) ↔ ┐ a U ┐ b.

- выражение дизъюнкции через конъюнкцию: ┐ (а U b) ↔ ┐ a ∩ ┐ b.

- выражение импликации через конъюнкцию: ┐ (a → b) ↔ (a ∩ ┐ b).

- выражение импликации через дизъюнкцию: а → b ↔ ┐ a U b.

Частичная совместимость характерна для суждений, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

Подчинение между суждениями имеет место в том случае, когда при истинности подчиняющего подчиненное всегда будет истинным.

Отношение логического подчинения, позволяющее по истинности подчиняющего суждения определить истинность подчиненного, составляет основу фундаментального в науке логики понятия логического следования, регулирующего все виды рассуждений.

Несовместимыми являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Из двух видов несовместимости одна – противоположность, другая противоречие.

Противоположность – отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными, при ложности одного из противоположных суждений нельзя установить значение другого: оно может быть как истинным, так и ложным.

Противоречие – отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными. При истинности одного из них другое будет ложным, а при ложности первого второе будет истинным.

Чтобы получить сложное суждение, противоречащее исходному, последнее нужно подвергнуть отрицанию. Например, для g противоречащим будет ┐ g; для конъюнкции р ∩ g противоречием будет ее отрицание - ┐ (р ∩ g).