ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§1. Понятие о преобразовании Лапласа. Оригинал и изображение

Пусть – действительная функция действительного аргумента , определенная при любых .

Определение. Будем называть оригиналом функцию , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) – кусочно-непрерывная функция при ; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва первого рода, число которых конечно на любом конечном интервале;

2) при ;

3) с возрастанием может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции. Это означает, что существуют такие числа и что для всех выполняется , число называется показателем роста функции . (Для ограниченных функций можно принять ).

В связи с условием 2 в дальнейшем изложении, где это потребуется, будем записывать для краткости лишь то выражение , которое она имеет для , подразумевая, что для . Например, запись должна пониматься так: .

Определение. Изображением функции – оригинала – называется функция комплексного переменного , определяемая интегралом

. (1)

Несобственный интеграл в правой части равенства (1), называемый интегралом Лапласа, зависит от параметра .

Соотношение (1) осуществляет преобразование одной функции в другую. Операцию перехода от оригинала к изображению в соответствии с формулой (1) называют преобразованием Лапласа, или прямым преобразованием Лапласа.

Тот факт, что есть изображение (говорят также, изображение по Лапласу), символически записывают так:

.

Отыскание оригинала по изображению называют обращением преобразования Лапласа, или обратным преобразованием Лапласа; его обозначают символом .

Условились обозначать оригиналы малыми буквами а их изображения – соответствующими заглавными буквами или теми же буквами, что и оригиналы, но снабжать их черточками сверху: .

§2. Теоремы существования изображения и единственности оригинала

Теорема (существования изображения). Если функция является оригиналом, то ее изображение определено для всех значений комплексного переменного , удовлетворяющих условию , т.е. в полуплоскости , где – показатель роста функции , и является аналитической функцией в этой области.

Геометрически теорему можно истолковать так: если на комплексной плоскости через точку действительной оси провести прямую параллельно мнимой оси , то интеграл (1) сходится везде в области, расположенной правее от этой прямой, причем функция является аналитической в ней.

Следствие (поведение изображения на бесконечности). Если точка р стремится в бесконечность так, что , то изображение .

Теорема существования устанавливает условия, при которых функции действительного переменного ставится в соответствие единственная функция комплексного переменного – ее изображение.

Теорема (единственности оригинала). Если является изображением двух оригиналов и , то эти оригиналы совпадают во всех точках, в которых они непрерывны.

Различные разрывные функции могут иметь одинаковое изображение.

§3. Свойства преобразования Лапласа

Теорема линейности

Для любых действительных или комплексных чисел С и С ₂

(4)

т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

Теорема линейности справедлива для любого конечного числа слагаемых:

В частности, при имеем

Теорема подобия

Если то для любого числа

(5)

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на это число.

Теорема смещения

Если , то для любого числа – действительного или комплексного имеет место соотношение

при , (6)

т.е. умножение оригинала на функцию влечет за собой «смещение» аргумента изображения на .

Теорема запаздывания

Если , то для любого числа имеет место

, (7)

т.е. запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Теорема дифференцирования оригинала

Если непрерывно дифференцируема и является оригиналом, то из следует:

, (8)

т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на параметр и вычитанию , где под следует понимать .

. (9)

§4. Обратное преобразование Лапласа

Теорема обращения

Если функция – оригинал, а ее изображение, то в любой точке непрерывности функции имеет место формула обращения

(10)

где и – любое действительное число больше показателя роста .

Комплексный интеграл в (10), осуществляющий обратное преобразование Лапласа, вычисляется вдоль любой вертикальной прямой лежащей в полуплоскости сходимости интеграла Лапласа от функции .

Соотношение (10), называемое формулой Римана-Меллина, решает в общем случае задачу отыскания оригинала по заданному его изображению

В простейших случаях при нахождении оригинала можно не прибегать к формуле обращения (10), а пользоваться таблицей соответствий между оригиналами и изображениями и основными свойствами преобразования Лапласа.

Пример. Найти оригиналы по данным изображениям;

а) , б) .

Решение. а) представим в виде

.

Используя свойство линейности и соответствия (10), (9) из таблицы оригиналов и их изображений, найдем

б) заметим, что Согласно свойству линейности и соответствиям (1), (2) из таблицы получим, что . Тогда для заданного изображения оригинал может быть найден с помощью теоремы запаздывания. Полагая , получим

.●

Если изображение представляет собой правильную рациональную дробь , где и – многочлены от , причем степень числителя меньше степени знаменателя, то при нахождении оригинала поступают следующим образом: разлагают дробь на сумму простейших дробей вида

находят оригинал для каждого слагаемого и, суммируя, получают оригинал данной функции.

Литература

1. Бугров, Я. С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Наука, 1981. – 448 с. – С.420-443.

2. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2: Учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко. – 6-е изд., испр. – М.: ООО «Издательство Оникс»; ООО «Издательство «Мир и образование», 2007. – 416 с. – С.305-320.