Студопедия — Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

 

1. Гомыранова, О.Н. Межличностные конфликты во взаимоотношениях студентов вузов / О.Н. Гомыранова // Вестник АГТУ. – Астрахань: ГОУ ВПО «Астраханский государственный технический университет», 2006. - № 5 (34). – С. 301-305. – ISSN 1812-9498. Включен в перечень ведущих рецензированных научных журналов ВАК.

2. Зигерт В., Ланг Л. «Руководить без конфликтов», М.: Академический проект, 1990

3. Чумикова А. Н. «Управление конфликтами», М.: Экономика, 1995

4. Зайцев А.К. Социальный конфликт. – М., 2000.

5. Гришина Н.В. Психология конфликта. – М., 1996.

6. Прутченков А.С. Тренинг коммуникативных умений. - М., 1993

7. Фишер Р., Юри У. Путь к согласию или переговоры без поражения – М.: Наука, 1990 – 158 с.

8. Шипилов А.И. Социально-психические особенности конфликтов между начальниками и подчиненными в подразделении: Дис.…канд. псих. Наук. – М., 1993. – 224 с.

Размещено

 

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

 

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y2 = 2px – уравнение параболы.

6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.

 

Окружность.

В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).

 

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

 

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

 

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Далее считаем, что все центры находятся в начале координат.

Эллипс.

Определение. Множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до фиксированных точек и есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.

Уравнение . является каноническим уравнением эллипса.

 

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

 

у

 

М

r1

r2

F1 O F2 х

 

F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0) с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось; b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a2 = b2 + c2.

 

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

 

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

 

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

е = с/a. Т.к. с < a, то е < 1.

 

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.

 

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r1 = a – ex, r2 = a + ex.

 

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.

 

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

 

x = a/e; x = -a/e.

 

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

 

1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

 

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого: .

Гипербола.

 

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

y

 

M(x, y)

b

r1

r2

x

 

F1 a F2

 

c

 

 

По определению ïr1 – r2ï= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

 

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с2 – а2 = b2:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

 

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

 

y

a/e d

 

M(x, y)

 

r1

 

 

0 a F1 x

 

OF1 = c

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.

(x – c)2 + y2 = r2

Из канонического уравнения: , с учетом b2 = c2 – a2:

Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a. Итого: .

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

 

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c2 = a2 – b2.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2.

 

 
 


 

 

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12. Итого: - искомое уравнение гиперболы.

Парабола.

 

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

 

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

 

у

А М(х, у)

 

 
 


О F x

 
 


p/2 p/2

 

 

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2; MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2 x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

y2 = 2px Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно: x = 2; y2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).

 

 
 

 


эксцентриситет

- a – большая полуось - a – большая полуось

a2 = b2 + c2 с2 – а2 = b2

полуоси

по оси - по оси - нет

по оси - по оси - нет

асимптоты

нет и нет

Директрисы

x = a/e; x = -a/e x = -p/2

Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной, для гиперболы она так же называется действительной (большая полуось).

Вырожденные случаи:

1) - мнимый эллипс или мнимая кривая второго порядка

2) - точка с координатами

3) - пара пересекающихся прямых и в точке с координатами

4) пара параллельных прямых

5) пара совпадающих параллельных прямых




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Избегание конфликтов в студенческом коллективе | ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 478. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия