Проверьте выполнение предпосылок метода наименьших квадратов в исследуемой модели парной линейной регрессии.

14.1. Контракт вступает в силу с момента его подписания Сторонами и действует до 31 декабря 2015г

В части неисполненных обязательств контракт действует до момента их надлежащего исполнения.

14.2. Контракт составлен в двух экземплярах, по одному для каждой из Сторон.

14.3. К контракту прилагаются:

Приложение № 1-Локальный сметный расчет

Приложение №2-График производства работ

 

15. Адреса, реквизиты и подписи Сторон:

 

Заказчик Подрядчик

 

МБОУ «Песковатская СОШ»
Адрес:403024 Волгоградская область Городищенский район х.Песковатка ул.Центральная,11.	Адрес:
ИНН/КПП: 3403300429/340301001	ИНН/КПП:
Банковские реквизиты: р/с 40701810200003000002 Банк: ОТДЕЛЕНИЕ ВОЛГОГРАД г. ВОЛГОГРАД БИК: 041806001	Банковские реквизиты:
__________________Торшин А.А.
М.П.	М.П.

 

Приложение №1

к муниципальному контракту

№_______ от ____________

 

Приложение №2

к муниципальному контракту

№_______ от ________

[1] Фиксированная сумма определяется в следующем порядке:

- 2,5% от цены контракта в случае, если цена контракта не будет превышать 3 000 000,00 рублей;

- 2% от цены контракта в случае, если цена контракта составит от 3 000 000,00 рублей до 50 000 000,00 рублей.

Фиксированная сумма и размер процентов включается в проект контракта по результатам проведения электронного аукциона при его заключении.

 

[2]Фиксированная сумма определяется в следующем порядке:

- 10% от цены контракта в случае, если цена контракта не будет превышать 3 000 000,00 рублей;

- 5% от цены контракта в случае, если цена контракта составит от 3 000 000,00 рублей до 50 000 000,00рублей.

Фиксированная сумма и размер процентов включается в проект контракта по результатам проведения электронного аукциона при его заключении.

 

Проверьте выполнение предпосылок метода наименьших квадратов в исследуемой модели парной линейной регрессии.

Методические рекомендации

Связь между и в парной регрессии является вероятностной (стохастической, корреляционной). Поэтому оценки параметров и являются случайными величинами, свойства которых существенно зависят от свойств случайной составляющей . Оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критериям. Они должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными.

Эти свойства оценок, полученных по методу наименьших квадратов, имеют чрезвычайно важное практическое значение в использовании результатов регрессии и корреляции.

Для получения по методу наименьших квадратов наилучших результатов необходимо выполнение следующих предпосылок (условий Гаусса – Маркова):

1. случайный характер остатков;

2. нулевая средняя величина , не зависящая от ;

3. гомоскедастичность – дисперсия каждого одинакова для всех значений ;

4. отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков распределены независимо друг от друга;

5. остатки подчиняются закону нормального распределения.

При выполнимости указанных предпосылок имеет место теорема Гаусса-Маркова: оценки и , полученные по методу наименьших квадратов, являются несмещенными, оценками коэффициентов регрессии, наиболее эффективными и состоятельными.

Если какая-либо из предпосылок не выполняется, то следует корректировать модель.

Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов можно с помощью следующих процедур.

Для проверки первой предпосылки - случайного характера остатков стоится график зависимости остатков от теоретических значений результативного признака . Если на графике отсутствует какая-либо направленность в распределении точек, то остатки представляют собой случайные величины и теоретические значения результативного показателя хорошо аппроксимируют его фактические значения .

Для оценки выполнения второй предпосылки необходимо определить сумму остатков. При выполнении данной предпосылки . Это условие выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных.

В рамках соблюдения второй предпосылки метода наименьших квадратов исследуется несмещенность оценок коэффициентов регрессии. Для этого строится график зависимости случайных остатков от фактора, включенного в модель регрессию .

Если точки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то остатки независимы от значений фактора , в противном случае модель считается неадекватной. Скопление точек в определенных участках значений фактора свидетельствует о наличии систематической погрешности модели.

Вторая предпосылка является «априорным» свойством фактической ошибки и всегда выполняется при использовании метода наименьших квадратов.

В соответствии с третьей предпосылкой требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной, иначе имеет место гетероскедастичность.

Визуально оценить наличие гомоскедастичности можно на основе графика зависимости остатков от теоретических (модельных) значений результативного показателя .

Для обнаружения гетероскедастичности используйте следующие тесты.

Тест ранговой корреляции Спирмена позволяет проверить наиболее общие предположения о наличии гетероскедастичности.

Для нахождения коэффициента ранговой корреляции Спирмена следует проранжировать объекты по значениям фактора и величине остатков . При этом используют прямое ранжирование (от минимального значения к максимальному), то есть минимальному значению показателя (фактора или случайной составляющей) присваивают наименьший ранг 1… Если при ранжировании невозможно найти существенные различия между значениями фактора (ошибки) по нескольким объектам, то данные объекты являются связанными. В этом случае данным объектам приписывают одинаковые средние ранги.

После расстановки рангов, вычисляют значение коэффициента ранговой корреляции по формуле:

где – разность между рангами значений и .

Затем следует оценить значимость рассчитанного коэффициента ранговой корреляции с помощью t-статистики.

Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Для расчета коэффициента ранговой корреляции расчеты удобнее выполнять в таблице.

Таблица 7 – Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Объект	Фактор	Ошибка	Разность рангов, ()	Квадрат разности рангов,
значение ()	ранг ()	значение ()	ранг ()
Всего					-

 

- Тест Голдфельда-Квандта применяется, в том случае, когда есть предположение о том, что ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными ошибками.

Алгоритм проведения теста.

1. Упорядочить данные по убыванию значения фактора ().

2. Исключить из упорядоченной совокупности () средних наблюдений, .

3. Построить две независимые регрессии первых и последних наблюдений с помощью метода наименьших квадратов и определить соответствующие остатки .

4. Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей проверяется с помощью критерия Фишера. Нулевая гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по наблюдениям (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности) отвергается, если:

Четвертой предпосылкой регрессионного анализа является независимость случайной составляющей в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях. Если данное условие не выполняется, то имеет место автокорреляции, и в этом случае коэффициенты регрессии, полученные по методу наименьших квадратов, оказываются неэффективными. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений.

Для проверки наличия корреляции первого порядка в остатках может быть использован тест Дарбина-Уотсона. По полученным остаткам модели () и остаткам, сдвинутым на один шаг () вычисляется статистика Дарбина-Уотсона по формуле:

Данная статистика может принимать значения в интервале [0; 4]. При отсутствии автокорреляции остатков значения статистики DW близки 2.

Точнее для применения теста DW по количеству наблюдений , числу объясняющих переменных и уровню значимости по таблицам Дарбина-Уотсона находится нижнее () и верхнее () значения (Приложение). Затем отрезок [0; 4] разбивается на 5 частей.

В зависимости от значений статистики DW делается вывод о наличии автокорреляции в ряду остатков (табл.8).

Таблица 8 – Характеристика статистики DW

Интервал значений DW	Оценка автокорреляции
От 0 до	Положительная автокорреляция
От до	Зона неопределенности
От до (4- )	Автокорреляция отсутствует
От (4- ) до (4- )	Зона неопределенности
От (4- ) до 4	Отрицательная автокорреляция

 

Также коэффициент автокорреляции, характеризующий линейную зависимость между исходным рядом остатков и рядом остатков, сдвинутым на один уровень , может быть определен по формуле линейного коэффициента парной корреляции .

Если значение коэффициента корреляции окажется существенно отличным от нуля, то остатки автокоррелированы.

Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения – выполнение пятой предпосылки - можно осуществить с помощью R/S-критерия, величина которого определяется по формуле:

где - стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка), которая определяется по формуле:

Расчетное значение R/S-критерия сравнивают с табличными значениями (нижней и верхней границами) (Приложение). Если значение критерия не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается.

Для проверки распределения остатков на нормальность также можно использовать основные свойства нормального распределения:

1. Практически все отклонения остатков от среднего значения (99,7 %) должны быть меньше ± ;

2. Примерно 2/3 (67%) всех отклонений значений остатков от среднего должны быть меньше ± ;

3. Половина всех отклонений остатков от среднего значения должна быть меньше ± .

где - среднеквадратическое отклонение остатков.

Для определения значений среднеквадратического отклонения с помощью табличного редактора Excel можно воспользоваться статистической функцией ДИСПР, выделив соответственно интервал данных (полученная величина характеризует дисперсию ). И из полученного результата необходимо извлечь корень, что будет определять искомую величину среднеквадратического отклонения .

Сделайте вывод о выполнении предпосылок МНК.