СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ: t-КРИТЕРИЙ
В данном приложении будет описан метод нахождения величины различия между средними, необходимой для отвержения нуль-гипотезы. Фактически мы будем подробно объяснять диаграммы, представленные на рис. 6.1.
Выборочное распределение
Давайте еще раз предположим, что данные по времени реакции, представленные в предыдущих статистических приложениях, получены в межгрупповом эксперименте. Мы, таким образом, имеем среднее время реакции для каждого из 17 испытуемых, которым предъявлялось условие А (свет), и среднее время реакции для каждого из 17 испытуемых, которым предъявлялось условие Б (тон). Более того, известно общее среднее для испытуемых в условии А (185 мс) и общее среднее в условии Б (162 мс). Наконец, мы знаем разницу между этими двумя средними, МА—Мб, равную. +.23 мс.
Если бы исследовались две другие группы испытуемых, отобранные тем же способом, то, конечно, не следовало бы ожидать МА—Мб в точности равной 23 мс. Нельзя было бы ожидать точно такой же разницы + 23 мс и в третьем эксперименте. Напротив, мы предполагаем, что это значение МА—Мб будет несистематически варьировать от эксперимента к эксперименту.
Допустим, что путем повторения этого эксперимента был реализован бесконечный эксперимент, при котором каждое условие предъявлялось 17 испытуемым бесконечное число раз. Предположим далее, что нуль-гипотеза верна. Тогда различие между общими средними — которое есть параметр — должно равняться нулю. Другими словами, М̅А—М̅б=0. Однако величина статистики МА—Мб должна варьировать от эксперимента к эксперименту.
Распределение величин МА—Мб для серии последовательных экспериментов может быть представлено так, как было описано ранее. Обозначим величину +23, которая была получена в реальном эксперименте, номером 1; предположим, что мы провели второй такой же эксперимент и получили величину — 4, обозначим ее номером 2; величину, полученную в третьем эксперименте (допустим, 0), — номером 3 и т. д. Таким образом, результаты девяти экспериментов, в случае МА—Мб = 0, могли бы выглядеть следующим образом.
Рис, 6.2. Ось абсцисс — МА—Мб. Ось ординат — частота
К счастью, можно вывести, как это распределение выглядело бы для бесконечного числа экспериментов. Мы можем реально изобразить ожидаемое распределение величин МА—Мб. Более того, мы можем оценить стандартное отклонение, которое имело бы это распределение. Такой тип теоретически выведенного распределения называют выборочным распределением. Описываемое здесь распределение является выборочным распределением разностей между средними (имеются также выборочные распределения для средних, для стандартных отклонений и т. д.).
Приводим выборочное распределение для нашего эксперимента по времени реакции с предположением, что нуль-гипотеза М̅А—М̅б=0 верна.
Заметьте, что стандартное отклонение (СО) равно 6,1.
Рис. 6.3. Ось абсцисс — МА—Мб. Ось ординат — относительная частота
Поэтому разность МА—Мб = +12,20, полученная в каком-то эксперименте, находится на расстоянии двух стандартных отклонений выше предполагаемой величины М̅А—М̅б = 0, а разность МА—Мб, равная —18,30, -- на три стандартных отклонения ниже предполагаемого нуля и т. д.
Стандартная ошибка
До сих пор не объяснялось, как было вычислено стандартное отклонение этого гипотетического выборочного распределения. Вот эта формула:
SmА-mБ называется стандартной ошибкой разности между средними. Использование термина стандартная ошибка вместо стандартного отклонения показывает, что мы вывели стандартное отклонение, а не пришли к нему через (невозможные) бесконечные вычисления. Заметьте, что здесь используется S, а не σ̅. Это потому, что популяционный параметр σ̅МА—МБ оценивается на основе выборочных статистик.
Для вычисления в формулу просто подставляют величины S2A и S2Б, полученные нами в предыдущих статистических приложениях. Так,
Вы можете видеть, что формула применима также и в том случае, когда NA и NБ различны, т. е. когда число испытуемых (или проб в интраиндивидуальном эксперименте) различно для двух условий.
Определение величины t
Следующий шаг состоит в том, чтобы найти, на сколько единиц стандартной ошибки отстоит полученная нами разность МА—Мб от нуля, представляющего среднюю нуль-гипотезы. Поскольку полученная нами разность равнялась +23, а стандартная ошибка МА—Мб =6,10, то очевидно, что наша разность находится на расстоянии 3,77 единицы стандартной ошибки выше нуля. Единицы стандартной ошибки называют t-единицами. Выражение полученной разности в единицах стандартной ошибки называют нахождением величины t для данной разности. Это может быть выражено следующей формулой:
Подставляя значения из нашего эксперимента по измерению времени реакции, мы имеем
Заметьте, что нуль в числителе при числовых операциях можно опустить. Он служит для того, чтобы напомнить нам, что мы проверяем нуль-гипотезу: М̅А—М̅б = 0.
Отвержение или неотвержение нуль-гипотезы
Теперь мы готовы (наконец!) описать, как были получены диаграммы на рис. 6.1, показывающие величину разности между средними, необходимую для отвержения нуль-гипотезы. Давайте перерисуем выборочное распределение разностей.
Рис. 6.4. Ось абсцисс: первая — значения ί-критерия; вторая МА -ΜБ. Ось ординат — относительная частота. 1, III — р = 0,005, нуль-гипотеза отвергается; II — р=0,99, нуль-гипотеза не отвергается Вы найдете в Статистической таблице 2 в конце данного приложения величину t, достаточную для отвержения нуль-гипотезы. Она дана и для альфа-уровня 0,05, и для альфа-уровня 0,01. Эти критические величины зависят от величины N для каждого условия, или, иначе, от числа степеней свободы, N—1, для каждого среднего. (Если вы имеете данное среднее, скажем, 179 мс для 17 испытуемых, эта величина могла бы быть получена путем свободного приписывания любых величин 16 испытуемым. Однако затем вам придется приписать семнадцатому испытуемому совершенно определенную величину, чтобы получить заданное среднее.) Таким образом, поскольку было 17 испытуемых для каждого условия, имели место 16+16 = 32 степени свободы (или df).
В таблице нет значений именно для 32df (но величина для 30df вполне годится, так как разница между величинами t для 30 и 35df очень мала. Чтобы отвергнуть нуль-гипотезу для 0,05 альфа-уровня, требуется t, равное 2,04, для альфа-уровня 0,01—t, равное 2,75. Величина t, равная в нашем эксперименте 3,77, показывает, что полученная разность +23 попадает в область отвержения, даже если использовать альфа-уровень 0,01.
Вероятности показаны так же, как на рис. 6.1 (в). Исходя из этого, наше статистическое решение будет заключаться в отвержении нуль-гипотезы.
Распределение, представленное в величинах t, является выборочным распределением t. Точная форма t-распределения будет разной в зависимости от числа степеней свободы в эксперименте. Вот почему вы должны находить критические величины, чтобы определить, является ли полученное вами различие значимым.
Нуль-гипотеза и ω2
Из данного статистического приложения видно, что в эксперименте по измерению времени реакций независимая переменная оказывала сильное влияние: est ω2= = 0,28. Ясно, что получить такую разность между условиями в высшей степени невероятно, если верна нуль-гипотеза. Но не смешивайте эти два понятия — силу действия и статистическую значимость. При очень надежных данных даже небольшая разность между средними позволит отвергнуть нуль-гипотезу. В то же время разность может оказаться статистически значимой даже при слабом действии независимой переменной.
Задача: Вычислите t и проверьте нуль-гипотезу при альфа-уровне 0,01 для эксперимента по измерению времени реакции выбора между двумя вспышками света (условие В) и выбора между двумя тонами (условие Г).
Ответ: Мв=265; Мг=250; S2B=292; 52Г=337; t=2,47.
Нуль-гипотеза может быть отвергнута при альфа-уровне 0,05, но не при альфа-уровне 0,01.
Статистическая таблица 2 Величина t-критерия, отвергающая нуль-гипотезу
Статистическая таблица 2 взята из таблицы IV в работе Фишера и Ятса «Статистические таблицы для биологических, сельскохозяйственных и медицинских исследований».
|
