Примеры. Основные свойства преобразования Фурье
Рассмотрим примеры Фурье-преобразования, ориентируясь на оптические задачи. Задана щель шириной 2a. Рис. 2.2. Схематическое изображение щели шириной 2a Пример. 1. Расчет Фурье-преобразования от щели, шириной 2а При выполнении расчета воспользовались формулой Эйлера Пример. 2. Теорема масштабов Увеличим размер щели в два раза. Ширина щели станет равной 4а. Увеличение ширины щели в два раза привело к двукратному увеличению амплитудного множителя и двукратному уменьшению периода функции Фурье-распределения. Пример. 3. Свойство смещения (инвариантность) Сместим щель шириной 2а на расстояние 2a в положительном направлении оси x (рис. 2.3). Смещение щели привело к появлению фазового множителя e−2ωa. Величина амплитудного множителя и период функции Фурье- распределения не изменился. Рис. 2.3. Смещение щели Сместим щель в другую сторону также на величину 2а. При смещении щели в другую сторону в выражении для Фурье- преобразования изменился только знак фазового множителя. Распределение амплитуды осталось неизменным. Мы наблюдаем свойство инвариантности для распределения амплитуды Фурье-преобразования. Пример. 4. Свойство интерференции Просуммируем выражения, описывающие распределения амплитуды поля при смещении объекта окончательно получим Рис. 2.4. Иллюстрация свойства Фурье-преобразования смещение и интерференция Смещение щели из положения 1 в положение 2 приводит только к тому, что изменяется направление падения лучей в фокальной плоскости. В соответствии a 3a 0 A x -2a 2a Экран с двумя щелями Линза Фокальная плоскость 1 2 33 с геометрической оптикой все лучи, распространяющиеся параллельно пересекаются в фокальной плоскости. Два волновых фронта, падающих на фокальную плоскость под углом, пересекаются (накладываются) в фокальной плоскости. Ширина образующихся интерференционных полос зависит от углов падения. Результирующее дифракционное распределение оказывается промодулированным интерференционными полосами. Период модуляции определяется множителем cos(2ωa). Пример. 5. Свойство суперпозиции Представим щель шириной 4а в виде суперпозиции двух щелей шириной 2а. Щели совпадают своими границами (рис. 2.5). Рис. 2.5. Две щели совмещены Получили выражение, совпадающее с выражением, полученным в примере 2 для теоремы масштабов. Пример. 6. Преобразования Фурье. Двумерный случай Задано прямоугольное отверстие со сторонами 2a·2b. Найдем Фурье- преобразование Рис. 2.6. Фурье-преобразование от прямоугольного отверстия. Распределение интенсивности Распределение интенсивности в частотной плоскости соответственно равно Пример. 7. Теорема масштабов для двумерного Фурье-преобразования Уменьшим размеры отверстия в два раза. Получим отверстие со сторонами a, b. Площадь отверстия уменьшили в четыре раза. Соответственно получим выражение для Фурье преобразования:
Амплитудный множитель уменьшился в четыре раза, а период Фурье- преобразования по каждому из двух ортогональных направлений дифракции увеличился в два раза. Интенсивность соответственно уменьшится в шестнадцать раз. Пример. 8. Круглое отверстие Эта форма апертуры особенно часто встречается на практике, что в основном обусловлено высокой технологичностью изготовления отвестия круглой формы. Функция пропускания круглого отверстия При вычислении Фурье-преобразования для круглого отверстия, в силу его симметрии целесообразно перейти к полярным координатам ρ и ϕ′ в плоскости отверстия: Принимая распределение поля по отверстию F(ξ,η)=1, получим выражение пропорциональное распределению амплитуды поля где a - радиус отверстия. Введем новые переменные и получим Выполняя интегрирование по ϕ′, получим где J0(ur) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Интегрирование по r приводит к где J1(u) - функция Бесселя первого рода первого порядка. Рис. 2.7. Фурье-преобразование от круглого отверстия. Распределение интенсивности Пример. 9. Теорема масштабов. Эллиптическое отверстие Эллиптическое отверстие может быть получено как аффинное преобразование круглого отверстия, путем изменения масштаба по одной из координатных осей. Изменение формы отверстия ведет к соответствующему изменению Фурье-спектра. При этом осевая симметрия отверстия и Фурье- спектра нарушаются. Эллиптическое отверстие имеет ось симметрии второго порядка, и, следовательно, Фурье-спектр также должен иметь ось симметрии второго порядка. Фурье-спектр эллиптического отверстия легко получается из картины дифракции для круглого отверстия в соответствии с теоремой об изменении масштаба: где J1 - функция Бесселя первого рода первого порядка; R - радиус круглого отверстия; μ - степень эллиптичности. Линии, соответствующие экстремумам Фурье-спектра являются эллипсами, оси которых ориентированы перпендикулярно ориентации эллиптического отверстия, что следует из теоремы об изменении масштаба.
|
