Теоретическая часть. Во всяком проводящем контуре, по которому течет ток, сила которого меняется с течением времени I(t)

Практикум по физике

 

Во всяком проводящем контуре, по которому течет ток, сила которого меняется с течением времени I(t), в силу явления электромагнитной индукции возникает поле сторонних сил, препятствующих изменению тока. Это явление получило название явления самоиндукции. Контур оказывается погруженным в меняющееся магнитное поле, которое он сам же и порождает. Поле сторонних сил, возникающее при этом в контуре, принято характеризовать величиной ЭДС самоиндукции . ЭДС самоиндукции, как характеристика явления электромагнитной индукции, прямо пропорциональна изменению магнитного потока, создаваемого меняющимся магнитным полем. Коэффициент пропорциональности между силой тока I, текущего в контуре, и магнитным потоком Ф, порожденным контуром и пронизывающим сам контур, называется индуктивностью контура L:

Ф=LI.

Таким образом,

(1)

Уравнение (1) показывает, что индуктивность контура L можно считать и коэффициентом пропорциональности между ЭДС самоиндукции и скоростью изменения силы в контуре тока.

Единица измерения индуктивности 1 генри = 1 Гн = 1Вб/1А. Индуктивность зависит от геометрии контура. Индуктивность кольца радиусом 10 см из проволоки диаметром 1 мм составляет примерно 1 мкГн. Индуктивность катушек из провода с сердечником из ферромагнитного материала может достигать нескольких десятков генри.

Поскольку направление возникающих в ходе явления самоиндукции электрических полей таково, что они препятствуют изменению тока, индуктивность характеризует способность контура препятствовать увеличению сила тока в контуре при его нарастании за счет внешних источников напряжения или поддерживать протекание тока, если сила тока в контуре начинает убывать.

Это свойство используется в электронике и электротехнике для сглаживания пульсаций тока, поэтому важно уметь создавать технические устройства, имеющие большую индуктивность при низком омическом сопротивлении и малой емкости. Такими свойствами в значительной степени обладает соленоид – цилиндрическая катушка, длина которой намного превышает диаметр, провод которой имеет достаточно большое сечение и изготовлен из материала с малым удельным сопротивлением (например, из меди). Индуктивность соленоида зависит от материала сердечника (m - магнитная проницаемость вещества сердечника), на котором смонтирована катушка, от площади сечения катушки S или ее диаметра D и от числа витков N на единицу длины l соленоида. Для длинного (l>>D), намотанного в один слой тонкой проволокой (D>>d, где d - диаметр провода), можно пренебречь неоднородностью магнитного поля на концах соленоида и показать, что

где m₀ = 4p×10^-7 Гн/м - магнитная постоянная, а n=N/l.

Для соленоидов конечной длины имеются более точные, но более громоздкие формулы расчетные формулы, однако на практике индуктивность соленоидов, особенно с многослойной намоткой измеряют в эксперименте.

Соленоид, намотанный из реальной проволоки помимо индуктивности L обладает омическим сопротивлением R_L. В цепях переменного синусоидального тока с циклической частотой w, вводят также величину L_w называемую индуктивным сопротивлением.

Первый способ измерения индуктивности соленоида связан с обработкой кривой нарастания тока в цепи, содержащей соленоид с резистором с известным сопротивлением R, при замыкании соединяющего эту цепь к источнику постоянного напряжения с ЭДС равной (рис.1).

Рис. 1

 

Закон Ома для такой цепи (рис. 1, показано направление обхода) после замыкания ключа:

.

С учетом ЭДС самоиндукции:

(2)

Преобразуя уравнение, получим

,

где максимальная сила тока, который установится в цепи, когда он перестанет меняться и выполнится равенство . Решение такого дифференциального уравнения при условии I(0)=0, а I(¥)=I₀ выглядит следующим образом

(2),

где - характерное время процесса, определяемое индуктивностью катушки и общим омическим сопротивлением цепи. График такой функции показан на рис. 2. Поскольку в начальные моменты времени I»0, уравнение (1) имеет вид , откуда , то есть ток нарастает линейно. Проводя касательную к начальному участку на графике I(t), легко видеть, что она пересекает на прямую I(t)=I₀ при t=t (пунктир на рис. 2). То есть характерное время процесса показывает, как быстро сила тока достигла бы конечного значения, если бы ток продолжал нарастать с начальным темпом.

На рис. 2 показана еще одна характерная точка графика, которая может быть легко найдена после проведения эксперимента (штрих - пунктирная линия): t_1/2 - время, при которой сила тока достигает половины конечного значения. Легко показать, используя свойства показательной функции, что t_1/2=t×ln2»0.69t

Рис. 2

 

Таким образом, оценить индуктивность катушки можно, зная характерное время нарастания кривой I(t) и величину суммарного сопротивления резистора и катушки. Заметим, что сила тока в каждый момент времени пропорциональна напряжению на резисторе R (U_R=IR, U_макс=I₀R), поэтому график U(t) будет иметь вид, аналогичный I(t) (рис. 2):

(3)

и характерное время t можно измерить, регистрируя зависимость напряжения на резисторе от времени после замыкания цепи.

Более точное значение t можно получить, измерив U_макс и подобрав с помощью компьютера такой коэффициент для функции , при котором график такой функции проходит максимально близко ко всем экспериментальным точкам зависимости U(t) (по методу наименьших квадратов) [1]. В этом случае t=1/А.

Для определения L по величине следует предварительно измерить величину R_L, например, по отношению напряжений в цепи постоянного тока на последовательно соединенных соленоиде и резисторе с известным сопротивлением R (рис. 1).

Второй способ измерения индуктивности основывается на получении кривой протекания тока в цепи, содержащей резисторы и катушку, после отключения источника тока (рис. 3).

а) б)

Рис.3

 

Поскольку при размыкании цепи сила тока в соленоиде начинает убывать, благодаря явлению самоиндукции в нем возникают сторонние силы, поддерживающие ток. Ток спадает не сразу, а некоторое время после размыкания ключа течет через катушку и резистор R₂. Эту способность соленоида поддерживать некоторое время ток в цепи трактуют как наличие в нем до размыкания цепи запаса энергии. Эту энергию приписывают энергии магнитного поля, находящегося, в основном, внутри соленоида.

Закон Ома для замкнутой цепи (рис. 3б, показано направление обхода) в этом случае

или

Это дифференциальное уравнение имеет решение (при условиях I(0)=I₀ и I(¥)=0)

,

где . График такой функции I(t) показан на рис. 4.

 

Рис. 4

 

Как и на рис. 2, можно показать, что характерное время t - это время, за которое ток в цепи спал бы до нуля, сохраняя начальную скорость убывания. В данном случае этому времени также можно придать смысл времени, за которое сила тока уменьшается в e»2,73 раза. Время t_1/2 – время, за которое сила тока упала в 2 раза, по-прежнему связано с t соотношением t_1/2=t×ln2»0.69t.

Вместо измерения тока в данной лабораторной работе для определения t используется измерение напряжения на резисторе R или R₂, так как напряжение на них в каждый момент времени отличается от силы тока постоянным множителем, равным сопротивлению резисторов. Так же как и в первом способе измерения индуктивности, можно определить время t, подбирая с помощью компьютера коэффициент A для функции , при котором ее график спадает от начального напряжения до нуля, проходя максимально близко ко всем экспериментальным точкам зависимости U(t) (по методу наименьших квадратов) [2]. В этом случае t=1/А После этого индуктивность катушки находится из соотношения .

Отметим, что ток через резистор R₂ после размыкания цепи (рис. 3б) потечет в противоположную сторону по сравнению с током до размыкания. Другой станет и сила тока. Если до размыкания сила тока через резистор с сопротивлением R₂, большим R_L была меньше, чем I₀ (), то после резкого размыкания в первый момент времени она будет стремиться стать равной I₀, то есть возрастет в раз. Таким образом, если измерять напряжение на резисторе до и после размыкания, то оно после размыкания меняет знак и может существенно увеличивать свой модуль. При размыкании цепи в отсутствии резистора R₂ (что эквивалентно условию R₂ =¥) напряжение возрастает очень сильно, поэтому на контактах ключа, размыкающего цепь, может возникнуть искровой (или дуговой) разряд через воздух.

Третий способ измерения индуктивности соленоида связан с изучением соотношения амплитудного значения напряжения на соленоиде и последовательно соединенном с ним резисторе при прохождении по такой цепи синусоидального переменного тока (рис. 5). В данном случае ЭДС самоиндукции постоянно меняет свое значение, а периодически и знак.

Рис. 5

 

Закон Ома для полной цепи в данном случае запишется как

Учитывая, что , а напряжение на соленоиде , можно записать:

При синусоидальном законе изменения ЭДС генератора с циклической частотой w, в цепи установятся вынужденные колебания с той же частотой. Если при этом сила тока в цепи меняется по синусоидальному закону , то для любого момента времени должно выполняться соотношение:

или

Используя метод векторных диаграмм или преобразование тригонометрических функций, можно показать, что выполнение этого условия возможно, если амплитуды напряжений на катушке и на резисторе R₂ соответственно равны:

и

При этом сдвиг фаз j между напряжениями на резисторе и на катушке составит

При Lw >>() сдвиг фаз существенен и равен j»p/2, а при Lw<<;() - j»0. Измерение отношения амплитуд на катушке и резисторе R₂ при заданной частоте колебаний напряжения при больших значениях w позволяет рассчитать значение L по угловому коэффициенту k линейной зависимости от w при R_L<<Lw (эквивалентно w>>R_L/L), то есть при больших частотах.

.

В этом случае L=kR₂.