Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Система счисления — совокупность приемов и правил на­именования и обозначения чисел, позволяющих установить вза­имно однозначное соответствие между любым числом и его пред­ставлением в виде конечного числа символов.

В любой системе счисления выбирается алфавит, представля­ющий собой совокупность некоторых символов (слов или знаков), с помощью которого в результате каких-либо операций можно пред­ставить любое количество. Изображение любого количества назы­вается числом, а символы алфавита — цифрами. Символы алфави­та должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно.

В современном мире наиболее распространенной является деся­тичная система счисления, происхождение которой связано с паль­цевым счетом. Она возникла в Индии и в XIII в. была перенесена в Европу арабами. Поэтому десятичную систему счисления стали на­зывать арабской, а используемые для записи чисел цифры, которы­ми мы теперь пользуемся - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, - арабскими.

Самой привычной для нас является десятичная система счисле­ния. Ее алфавит — {0,1, 2,3,4, 5,6,7,8,9}, а основание р = 10, т. е. в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр). Эти цифры введены для обозначения пер­вых десяти последовательных чисел, а все последующие числа начи­ная с 10 и т. д. обозначаются уже без использования новых цифр. Десятичная система счисления основана на том, что 10 единиц каж­дого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Сле­довательно, значение одной и той же цифры определяется ее место­положением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоич­ную, систему осуществляется путем замены каждой цифры эк­вивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетра­дой (четверкой цифр) соответственно.

Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

Для перевода целого числа А_р из р-ричной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо А_р разделить с остатком («нацело») на число d записанное в той же р-ричной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на dи т. д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нолю. Представ­лением числа А_р в новой системе счисления будет последова­тельность остатков деления, изображенных d-ричной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

10. Системы счисления. Арифметические действия над числами в позиционной системе счисления (см№14)

Правила выполнения арифметических операций сложения, вы­читания, умножения и деления в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, как было отмечено выше, будут такими же, как и в десятичной системе, только надо пользоваться особыми для каждой системы таблицами сложения и умножения.