Логические операции И, ИЛИ, НЕ. Таблицы истинности

Операции. Основными, или базовыми, операциями булевой ал­гебры служат: И (AND), ИЛИ (ОR) и НЕ (NОТ). Опе­рация И называется логическим умножением, или конъюнкцией, и обозначается знаком умножения {•, ^}. Операция ИЛИ называется логическим сложением, или дизъюнкцией, и обозначается знаком сложения {+, v}. Операция НЕ называется логическим отрицани­ем, или инверсией (дополнением), и обозначается знаком {—, }. При выполнении операций применяются отношение эквивалент­ности «=» и скобки «()», которые определяют порядок выполне­ния операций. Если скобок нет, то операции выполняются в следу­ющей последовательности: логическое отрицание, логическое умножение и логическое сложение.

Таблица истинности — табличное представление вычисли­тельной (логической) схемы (операции), в котором перечисле­ны все возможные сочетания значений истинности входных сиг­налов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Основные законы алгебры логики.

Законы алгебры логики

1. Законы однопарных элементов:

а) универсального множества:

x + 1 = 1;

x *1 = x

б) нулевого множества:

х + 0 = х;

x*0=0

2. Законы отрицания:

а) двойного отрицания:

нене x =x

б) дополнительности:

х +не х = 1 х*нех = 0.

в) двойственности (де Моргана):

не(x1+x2)=не(x1*x2);

не(x1*x2)=нех1 + нех2

3. Комбинационные законы:

а) тавтологии:

х + х = х

х*х=х

б) коммутативные:

х1+х2=х2+х1

х1*х2=х2*х1

в) ассоциативные (сочетательные):

х1+(х2+х3)=(х1+х2)+х3

х1(х2*х3)=(х1*х2)х3

г) дистрибутивные (распределительные):

х1(х2+х3)=х1*х2+х1*х3

х1+х2*х3=(х1+х2)(х1+х3)

Д) закон абсорбции (поглощения):

х1+х1х2=х1

х1(х1+х2)=х1

е) склеивания:

х1х2+х1*нех2=х1

(х1+х2)(х1+нех2)=х1

 

Функции алгебры логики. Табличное значение логической функции одной и двух переменных

Алгебра логики — раздел математики, изучающий высказы­вания, рассматриваемые со стороны их логических значений (ис­тинности или ложности) и логических операций над ними

Булевой (переключательной, двоичной) функцией называется двоичная переменная у, значение которой зависит от значений дру­гих двоичных переменных (х₁, х₂,..., х_n), именуемых аргументами:

y=y(х₁, х₂,..., х_n)

Задание булевой функции означает, что каждому из возможных сочетании аргументов поставлено в соответствие определенное зна-чение y.

При п аргументах общее число сочетаний N = 2^n. Так как каж­дому сочетанию аргументов соответствует два значения функции (0,1), то общее число функций F = 2^{2^n}.

Булевая функция может быть задана на словах, таблично, ал­гебраически или числовым способом.

X 0 1

Y0 0 0 y0= 0 – const 0, или генератор 0

Y1 0 1 y1= x - повторитель

Y2 1 0 y2= нех - инвертор

Y3 1 1 y3= 1 – const 1, или генератор 1.