Сечения цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник (рис. 3, а). Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.
а) б)
в) г)
Рис. 3 – Сечения цилиндра
В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это − сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 3, б).
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг (рис 3, в).
Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси − овал (рис. 3г).
Теорема 1. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Доказательство. Пусть β − плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра. Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость β с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью β с окружностью основания. Теорема доказана.

1.4. Площадь цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается предел, к которому стремится площадь боковой поверхности правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон основания этой призмы неограниченно возрастет.
Теорема 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S_бок.ц = 2πRH, где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

а) б)
Рис. 4 − Площадь боковой поверхности цилиндра
Доказательство.
Пусть P_n и Н соответственно периметр основания и высота правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр (рис. 4, а). Тогда площадь боковой поверхности этой призмы S_бок.ц − P_nH. Предположим, что число сторон многоугольника, вписанного в основание, неограниченно растет (рис. 4, б). Тогда периметр P_n стремится к длине окружности С = 2πR, где R— радиус основания цилиндра, а высота H не изменяется. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы стремится к пределу 2πRH, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна S_бок.ц = 2πRH. Теорема доказана.
Площадь полной поверхности цилиндра.
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра равна πR², следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S_полн вычисляется по формуле S_бок.ц = 2πRH+ 2πR².

а)

б)
Рис. 5 − Площадь полной поверхности цилиндра
Если боковую поверхность цилиндра разрезать по образующей FT (рис. 5, а) и развернуть так, чтобы все образующие оказались в одной плоскости, то в результате мы получим прямоугольник FTT1F1, который называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Сторона FF1 прямоугольника есть развертка окружности основания цилиндра, следовательно, FF1=2πR, а его сторона FT равна образующей цилиндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким образом, площадь FT∙FF1=2πRH развертки цилиндра равна пло­щади его боковой поверхности.