Тема 2 Логика и техника финансовых вычислений

Материал	Модуль Юнга, Па·102	Материал	Модуль Юнга, Па·102
Алюминий		Манганин
Бронза	75-125	Медь
Вольфрам		Никель
Германий		Олово
Дюралюминий		Свинец
Иридий		Серебро
Кадмий		Сталь
Кобальт		Стекло
Кремний		Титан
Латунь		Фарфор
Лед		Цинк
Магний		Хром

 

Обратимся вновь к элементарному цилиндрическому объему, изображенному на рис. 4.1, и напишем для него уравнение движения. До начала деформации левая поверхность (основание) этого объема располагается в точке с координатой х. При прохождении волны его точки сместятся в положение с координатой u, а правая поверхность (основание), имевшая до начала деформации координату х +Δ х, окажется в положении х +Δ х + u +Δ u. Полагая Δ х очень малой величиной, проекцию ускорения, которое получает элементарный цилиндр, на ось 0х можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной d ² u / dt ². Масса цилиндра равна ρS Δ х, где ρ – плотность недеформированной среды. Проекция на ось 0х силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания на разность нормальных напряжений в сечениях (х +Δ х + u +Δ u) и (x + u):

(4.2)

Значение производной du / dx в сечении x + δ; для δ; малых можно представить с большой степенью точности в виде ряда Тейлора для производной du / dx, вычисленной в точке х и оборванной на втором члене:

. (4.3)

 

Подставим это выражение в (4.2), полагая δ; равным в одном случае u, а в другом случае Δ х + u +Δ u:

 

Учтем, что в этом выражении величины Δ х, u и Δ u являются малыми и оставим главный по значению член:

(4.4)

Относительное удлинение du / dx при упругих деформациях бывает много меньше единицы, поэтому du << dx, так что слагаемым Δ u в сумме Δ х +Δ u можно пренебречь.

Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона (сила равна массе умноженной на ускорение: F = ma), получим:

откуда после деления на ES Δ х придем к уравнению:

(4.5)

 

которое представляет собой волновое уравнение. Сопоставление уравнений (4.5) и (3.21) показывает, что

. (4.6)

Таким образом, фазовая скорость упругих продольных волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность ρ; (подтверждение сформулированных ранее основополагающих свойств, которыми должна обладать среда, чтобы в ней распространялась волна – упругость и инертность).

Приведем без вывода формулу для скорости распространения поперечных волн в твердых телах:

, (4.7)

где G – модуль сдвига вещества твердого тела.

Тема 2 Логика и техника финансовых вычислений.

1. Временная ценность денег. Операции наращивания и дисконтирования.

2. Процентные ставки и методы их начисления.

3. Будущая и дисконтированная стоимости: экономический смысл и техника расчетов.

4. Определение ставки долговых процентов в условиях инфляции.

 

=1=

Финансовый менеджмент рассматривает возможности привлечения и инвестирования финансовых ресурсов. Данные возможности имеют одну общую черту, являющуюся по сути ключевой, - временная ценность задействованных в финансовой операции средств. Данный параметр можно рассматривать в двух аспектах

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с течением вре­мени. Представим, что предприятие имеет временно свободные денежные средства в размере 5 млн. руб., а инфляция составляет 20% в год (т. е. цены увеличиваются в 1.2 раза). Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги в чулке, они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 4,17 млн. руб.

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств).

Пример

Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой деловой операции, которая принесет доход в размере 10 млн. руб. по истечении 2 лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по 5 млн. руб. по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце периода.

Даже на житейском уровне, очевидно, что второй вариант получения доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это проистекает из того, что сумма, полученная в конце первого года, может быть вновь пущена в оборот и, таким образом, может принести дополнительные доходы. На первый взгляд, такой вывод очевиден и не требует каких-то специальных знаний, однако проблема выбора мо­ментально усложнится, если немного изменить условие задачи; например, доходы таковы: в первый год - 4 млн. руб., а во второй - 5 млн. руб. В этом случае уже не очевидно, какой вариант предпочтительнее.

Даже эти простейшие примеры позволяют сделать очевидное предположение, что скорее всего практически любая финансовая операция должна учитывать фактор времени, а потому обоснованное принятие решений по поводу привлечения финансовых ресурсов и их инвестирования с необходимостью должно базироваться на некоторых счетных алгоритмах и методах. Суть этих алгоритмов - учет временной стоимости денег и сравнение эффективности альтернативных вариантов операции через систему процентных ставок. Финансовые вычисления, базирующиеся на понятии временной стоимости денег, - один из краеугольных элементов финансового менеджмента и используются в различных его разделах. Наиболее интен­сивно они применяются для оценки инвестиционных проектов, в опера­циях на рынке ценных бумаг, в ссудо-заемных операциях, в оценке биз­неса и др.

Логика построения основных алгоритмов достаточно проста и ос­нована на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы P с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сум­ма S. Результативность подобной сделки может быть охарактеризова­на при помощи расчета некоторого относительного показателя, который называют специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рас­считывают отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо Р (получим процент­ную ставку), либо S (получим учетную ставку).

Процентная ставка (процент, рост, норма прибыли, доходность) i рассчитывается по формуле:

 

Учетная ставка (дисконтная ставка, дисконт) d рассчитывается по формуле:

 

 

Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, можно рассчитать другой.

или

 

 

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины: S, Р иставка i, две из которых заданы, а одна является искомой. Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная став­ка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения. Про­цеcc, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвраща­емая) сумма и ставка (коэффициент дисконтирования), называется процессом дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему. Необходимо отметить, что в качестве коэф­фициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка, (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковс­кое дисконтирование).

Экономический смысл финансовой операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает распо­лагать инвестор по окончании этой операции.

Экономический смысл дисконтирования заключается во времен­ном упорядочении денежных потоков различных периодов. Коэффици­ент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина P показывает как бы текущую, «сегодняш­нюю» стоимость будущей величины S.

=2=

У ссудо-заемных операций, составляющих основу коммерческих вычислений, давняя история. Именно в этих операциях проявляется, прежде всего, необходимость учета временной ценности денег.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец полу­чает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторо­му алгоритму в течение определенного промежутка времени. Посколь­ку стандартным временным интервалом в финансовых операциях яв­ляется 1 год, наиболее распространен вариант установления процентной ставки в виде годовой ставки, когда подразумевается однократное на­числение процентов по истечении года после получения ссуды. Извест­ны две основные схемы дискретного начисления: схема простых и схе­ма сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с ко­торой происходит начисление.

Например. Первоначальная сумма долга или инвестиций равна Р, годовая процентная ставка равна i (выраженная в десятичных дробях). Считается что инвестиция сделана на условиях простого процента, тогда инвестированный капитал ежегодно будет расти на величину Р´ i. Таким образом, через n лет размер инвестированного капитала (S_n) или наращенная сумма будет равен:

S_n=Р+Р´i+ Р´i+...+ Р´i=Р´(1+n´i).

 

Простые проценты применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления и, как правило, составляет срок менее одного года или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются деньги.

Период начисления - это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). В дальнейшем будем предполагать, что период начисления совпадает со сроком, на который предоставляются деньги. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления - это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Если простые проценты используются на период до одного года, то формула для начисления процентов выглядит следующим образом.

где D – количество дней за которые начисляются проценты

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются про центы, все время возрастает. Сле­довательно, размер инвестированного капитала к концу n-го года будет. равен.

S_n=P ( 1 +i) ⁿ

где n – количество лет, i – годовая процентная ставка.

Сложные проценты используются, как правило, при заключении долгосрочных финансовых операций. Расчеты по сложным процентам могут использоваться и при краткосрочных финансовый операциях, если проценты начисляются ежемесячно. Формула расчета наращенной суммы при сложных процентах в данном случае будет равна:

где n – количество лет, i – годовая процентная ставка, m – количество начислений в году.

Процентные вычисления могут быть обыкновенные (коммерческие) или точные. Обыкновенные осуществляются при условии, что год составляет 360 дней квартал 90, а месяц 30 дней, при точных расчетах берется фактическое число дней в месяце в году.

Различными видами финансовых контрактов могут предусматри­ваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно го­довая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности контрактов с разными схемами начислений, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка i_э обеспечивающая переход от Р к Sn при заданных значениях этих показателей и одно­кратном начислении процентов и рассчитываемая по формуле

Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от ко­личества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличи­вается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соот­ветствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при т = 1. Именно ставка i_э служит критерием эффективности финан­совой сделки и может быть использована для пространственно-временныx сопоставлений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для финансового менеджера. Дело в том, что решение о привле­чении средств, например банковской ссуды на тех или иных условиях, принимают чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процент­ной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расходы заемщика. В рекламных проспектах непроизвольно или умышленно внимание на природе ставки обычно не акцентируют, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весьма существенно отличаться от эффективной ставки.

Пример Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при разной частоте начисления процентов, если номинальная ставка равна 20

Решение:

 

m
iэ	0,20или 20%	0,21	0,216	0,219

 

=3=

 

Любая инвестиция представляет собой вложение денежных средств в надежде, что в будущем инвестор сможет получить определенный доход. Поскольку возможностей инвестирования обычно много, возникает вопрос о предпочтительности того или иного варианта. Один из способов решения этого вопроса - расчет будущей стоимости исходной инвестиции в условиях сравниваемых вариантов инвестирования.

Будущая стоимость - это сумма первоначального капитала и начисленного на него процентного дохода, получаемая в результате осуществления процесса наращения в течение n базисных периодов (n ≥ 1) по ставке i.

Основная идея методов оценки проектов инвестирования заключается в оценке будущих поступлений (например, в виде прибыли, процентов, дивидендов) с позиции текущего момента. Ключевым в оценке подобных финансовых операций является умение оценки платежа, ожидаемого к получению в будущем, т. е. необходимо учесть фактор времени. В результате появляется понятие дисконтированной стоимости платежа. Этим понятием обозначается оценка суммы, ожидаемой к получению в будущем с позиции некоторого предшествующего момента времени.

Дисконтированная стоимость может быть рассчитана как по сложным, так и по простым процентам.

Дисконтирование по простым процентам используется в основном при учете или продаже векселя коммерческому банку. Пример предприятие получило за отгруженную готовую продукцию на сумму 120 млн. руб. переводной вексель на 60 дней с начислением 36% годовых. После окончания этого срока предприятие должно получить наращенную сумму долга которая составит S= 120*(1+0,36×60:360)=127,2 млн. руб.

Это будущая стоимость, которую должно получить предприятие за готовую продукцию стоимость которой на момент продажи 120 млн. руб. Но может через 46 дней возникнуть ситуация нехватки денежных средств для закупки сырья. Предприятие решило продать свой вексель банку. На момент учета векселя банком взаимоотношения сторон основываются не на процентной, а на дисконтной ставке, которая характеризует скорость наращивания стоимости в границах года в отношении к конечной сумме ценностей. При учете векселя коммерческий банк рассматривает его номинальную стоимость 120 млн. руб. как будущую сумму 127,2 млн. руб., однако выплачивает меньшую сумму, исходя с установленной величины дисконта в свою пользу. Банк определяет стоимости векселя на день учета, т.е. дисконтированную стоимость, которая для банка станет первоначальной суммой долга.

Для этого используется формула простого дисконтирования.

где D – количество дней до текущего момента,

d – дисконтная ставка

В нашем примере, если дисконтную ставку выразить через процентную (см. первый вопрос) получится

или 26,5 %

тогда

таким образом сумма процентов векселя разделится: доход за 46 дней получит поставщик 125,8-120= 5,8 млн. р. и за 14 дней банк 127,2 -125,9 = 1,4 млн. р.

 

Дисконтирование по сложным процентам используется при оценке инвестиционных проектов. Для этого будущая стоимость умножается на коэффициент дисконтирования, который рассчитывается по формуле

где d ставка дисконтирования, n – количество лет

Таким образом базовая расчетная формула для дисконтирования по сложным процентам

Р=S×k

где Р текучая (или приведенная) стоимость, т.е. оценка величины S с точки зрения текущего момента

S– доход, планируемый к получению в n –м году.

Величина дисконтированной стоимости зависит от ставки дисконтирования: чем больше ставка, тем меньше дисконтированная стоимость. Отсюда следует вывод: каждому фиксированному значению ожидаемой в будущем к полу­чению величины может соответствовать несколько значений дисконтированной стоимости, в зависимости от того, какая ставка дисконтирования выбрана анали­тиком. Иными словами, дисконтированная стоимость не есть жестко предопреде­ленная величина, она многозначна. Это свойство операции дисконтирования будет использоваться нами неоднократно при характеристике методов оценки финансо­вых активов.

В качестве дисконтной ставки могут использоваться темп инфляции, цена капитала, депозитные ставки надежных коммерческих банков.

Определяя ставку дисконтирования, обычно исходят из так называемого безопасного, или гарантированного, уровня доходности финансовых инвестиций, который обеспечивается государственным банком по вкладам или при операциях с ценными бумагами. При этом может даваться надбавка за риск, причем чем более рисковым считается рассматриваемый проект или финансовый контракт, тем больше размер премии за риск Процентная ставка id, используемая в качестве ставки дисконтирования, будет в этом случае иметь следующий вид:

id = ij + ir

где - ij безрисковая доходность;

ir - премия за риск.

Пример

На вашем счете в банке 200 тыс. руб. Банк платит 11 % годовых. Вам предла­гают войти всем вашим капиталом в организацию частного предприятия. Пред­ставленные экономические расчеты показывают, что через 6 лет ваш капитал уд­воится. Стоит ли принимать это предложение?