Cредняя квадратическая погрешность (СКП). Порядок матобработки ряда равноточных измерений. Предельная абсолютная и относительная погрешности

Наилучшим критерием оценки точности измерений принято считать среднюю квадратическую погрешность (СКП) измерения, определяемую по формуле Гаусса:

где Δi=li-X (Х - истинное значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

Так как, в большинстве случаях истинное значение неизвестно, то СКП определяют по формуле Бесселя:

где ϑi=li-х (х - средняя арифметическое значение или вероятнейшее значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

СКП арифметической середины:

Эта формула показывает, что СКП арифметической середины в √n раз меньше СКП отдельного измерения.

На практике различают предельные и относительные погрешности. Теорией доказывается, а практикой подтверждается, что абсолютное большинство случайных погрешностей находится в интервале от 0 до m - 68%, от 0 до 2m - 95%, от 0 до 3m - 99.7%.

На практике за предельную погрешность принимают 2m, т.е. с вероятностью 95% можно утверждать, что случайные погрешности не превысят величины равной 2m. Если n<10 то ϑi(пред)=tB. M, где tB - коэффициент Стьюдента (таблица)

Таблица коэффициентов Стьюдента

tB	n	tB	tB
4,53		2,65	2,37
3,31		2,52	2,32
2,87		2,43	2,28

Рассмотрим на примере как выполняется математическая обработка результатов ряда равноточных измерений. Пусть длина линии измерена шесть раз (см. таблицу). Необходимо найти вероятнейшее значение измеренной величины и оценить результаты измерений.

l'=75.10 м,

x =75.10+0.37/6=75.16 м,

m =√91 / 5=4.2 см,

М = 4.2 / √6=1.7 см,

ϑi(пред)=tB. M = 2.52. 1.7 = 4.4 см,

L = 75.16 + 0.04 м (P=95%),

Отн.погр.ΔL/L=4.4/7510=1/1700

N	l,м	E,см	ϑ,см	ϑ2
	75.15	+5	-1
	75.18	+8	+2
	75.20	+10	+4
	75.13	+3	-3
	75.10		-6
	75.21	+11	+5
Σ		+1

Матобработка ряда измерений одной и той же величины выполняется в следующей последовательности:

- определение вероятнейшего значения измеренной величины x=Σli/n;

- оценка точности отдельного измерения

- оценка точности арифметической середины (вероятнейшего значения)

- определение окончательного результата L = x ± tBM.

51А. Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин.

Пусть известна функция общего вида

z = f (x,y,...,t),

где x,y,...,t - независимые измеренные величины, полученные с известными средними квадратическими погрешностями (СКП).

Тогда СКП функции независимых аргументов равна z корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функций по каждому из аргументов на СКП соответствующих аргументов, т.е.

(*)

Если функция имеет вид

z = x + y +...+ t,

то

Для функции

z = k1x + k2y +...+knt,

где k1,k2,kn - постоянные величины,

Пример 1.Определить СКП превышения, полученного по формуле h=d. tgν, если горизонтальное проложение d=100.0 м, ν=4? 30', md=0.5 м, mν=1'.

Решение.

1.Находим частные производные

dh/dd = tgν, dh/dv=d/cos2ν.

2.По формуле (*) получаем

м

Пример 2. Определите с какой СКП получена площадь здания прямоугольной формы, если его длина и ширина соответственно равные 36 и 12 м измерены с СКП 1 см.

Решение.

Площадь здания P = a. b.

Так как (dP/da)=b,

dP/db=a, ma=mb=ma,b, то

м2