Плоские прямоугольные координаты точки и проекция Гаусса-Крюгера



Рассмотренные ранее системы координат (геодезические, астрономические и географические) не совсем удобны для практического применения при решении многих задач инженерной геодезии и маркшейдерии. При производстве съемок, измерений, построений крупномасштабных планов и карт на относительно небольшой по площади местности значительно удобнее определять положение точки на поверхности Земли при помощи плоских прямоугольных геодезических координат.
Плоские прямоугольные координаты, применяемые в геодезии имеют в своей основе известные со школьной скамьи оси X И Y - перпендикулярные прямые, расположенные в одной плоскости.
Точка пересечения осей О является началом системы координат, и все другие точки на указанной плоскости имеют координаты определяемые по положению этих точек относительно нулевой точки.

Применение прямоугольной системы координат в геодезии предполагает проецирование точек с поверхности геоида на плоскость, а поскольку этот прием приводит к некоторым неточностям, вызванным переносом точек с объемной поверхности на плоскость, предполагается получение определенной степени искажений.
Как мы уже знаем, при составлении картографических проекций, искажения могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными.

При равноугольном отображении поверхности эллипсоида на плоскости используется прием применения бесконечно малых геометрических фигур, координаты точек которых определяются по относительному расположению этих точек в системе прямоугольных координат. При этом искажения углов получаются незначительными, поскольку само построение сети фигур опирается на измерение углов и сторон этих фигур.

В равновеликих картографических проекциях сохраняется соотношение между площадями этих фигур, однако допускается неточность в определении углов между направлениями и расстояниями.

В нашей стране для перехода от геодезических координат к плоским прямоугольным используют поперечную цилиндрическую равноугольную картографическую проекцию, которая получила название "проекция Гаусса-Крюгера" (по имени немецких ученых, предложивших ее использование и разработавших методику для её применения в геодезии). Систему координат, соответствующую проекции Гаусса-Крюгера называют государственной. Отдельная статья, посвященная проекции Гаусса-Крюгера изложена в разделе этого сайта о маркшейдерском деле.

Основные условия для разработки этой проекции:
- проекция сохраняет равенство соответствующих горизонтальных углов на поверхности эллипсоида и на плоскости;
- бесконечно малый контур на эллипсоиде изображается подобным ему контуром на плоскости;
- масштаб изображения в каждой точке проекции зависит только от ее координат и не зависит от направления;
- при использовании проекции земной эллипсоид разделяется меридианами на зоны, имеющие свое начало координат - пересечение осевого меридиана с экватором;
- масштаб проекции вдоль осевого (среднего) меридиана зоны равен единице, т. е. изображается без искажений.

Осевой меридиан зоны и экватор изображают на плоскости двумя взаимно перпендикулярными линиями.

В основу проекции Гаусса-Крюгера положено разделение земного эллипсоида на ряд одинаковых меридианных долей, подобно тому, как мы нарезаем арбуз. Угол между плоскостями, разделяющими соседние меридианные доли, принимается равным 6 градусам, в результате чего на поверхности эллипсоида вырезаются 60 зон.

В пределах каждой зоны строится своя прямоугольная система координат. С этой целью все точки данной зоны проецируются на поверхность цилиндра, ось которого находится в плоскости экватора Земли, а его поверхность касается поверхности Земли вдоль среднего меридиана зоны, называемого осевым. При этом соблюдается условие сохранения подобия фигур на земле и в проекции при малых размерах этих фигур. Спроецированное на поверхность цилиндра изображение зоны разворачивается на плоскость, при этом проекция осевого меридиана и соответствующего участка прямоугольной системы координат представляет две взаимно перпендикулярные прямые, точка пересечения которых и принимается за начало зональной плоской прямоугольной системы координат.
Северное и восточное направления этих осей считаются положительными в пределах каждой зоны.

Для всех точек на территории нашей страны абсциссы имеют положительное значение, поскольку Россия расположена в северном полушарии. Чтобы ординаты точек также были только положительными, в каждой зоне ординату пересечения осей координат принимают равной не нулю, а 500 км (см. рис).
Благодаря такому приему, точки, расположенные к западу от осевого меридиана каждой зоны, имеют ординаты меньше 500 км, а к востоку - больше 500 км, но в обоих случаях являются положительными.
Такие ординаты называют преобразованными.

Если за начало плоской прямоугольной системы координат принять произвольную точку, то она будет называться относительной или условной.

В тех случаях, когда относительные ошибки, получаемые из-за искажения длин линий в проекции Гаусса-Крюгера, превышают допустимые для данных построений или вычислений, прибегают к разделению эллипсоида на трехградусные зоны.

На картах, составленных в равноугольной картографической проекции Гаусса-Крюгера, искажения длин в различных точках проекции различны, но по разным направлениям, выходящим из одной и той же точки, эти искажения будут одинаковы. Круг малого радиуса, взятый на уровенной поверхности, изобразится в этой проекции тоже кругом. Поэтому считается, что рассматриваемая проекция на плоскость сохраняет подобие фигур на сфере и в проекции при малых размерах этих фигур.
Таким образом, изображения контуров земной поверхности в этой проекции близки к натуральным контурам.

Изображение на плоскости каждой из этих шестиградусных долей составляет колонну листов Международной карты мира в масштабе 1:1 000 000. Каждая шестиградусная доля, в свою очередь, является координатной основой для построения крупномасштабных изображений поверхности.

По причине обособленности систем координат каждой зоны возникают некоторые неудобства в граничных линиях их стыковки. В этих случаях для описания положения точек используют системы координат обеих соседних зон.

Для построения топографических карт в ряде стран применяется проекция UTM (универсальная трансверсальная проекция Меркатора), также выполненная в шестиградусных зонах.