Студопедия — Дифференциал функции. Понятие дифференциала функции
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциал функции. Понятие дифференциала функции






По определению производной имеем ƒ ´(x)= .

Из теории пределов известно, что = ƒ ´(x) + ά (Δx), где ά (Δх)- бесконечно малая величина. Выразим Δу: Δу = ƒ´(х)*Δх+ ά (Δх)*Δх, ά(Δx)*Δx=0. Следовательно, Δу ≈ ƒ´(х) *Δх. Выражение ƒ´(х) Δх назвали главной частью приращения функции, или дифференциалом функции. Дифференциал функции обозначается dy = ƒ´(x)*Δx. В частности, если ƒ´(х) = х, то dy = 1* Δx или dy = dх, тогда dy = ƒ´(x) dх.

Пример 12. Найти дифференциал функции у = (2х³-4) .

Решение: dy = ((2х³-4) )´ dх

dy = 5 (2х³-4) * (2х³-4)´ dх

dy = 5(2х³-4) *6х² dх

dy = 30х² (2х³-4)

Пример 13. Вычислить значение дифференциала функции V = cos³3y при у = , Δу = 0,01.

Решение. Дифференциал функции вычисляется по формуле dv = v´(y) dy.

dV = (cos³3y)´ dy; dV = 3cos³3y* (cos 3y)´ dy.

dV = 3cos²3y *(-sin 3y)*(3y)´ dy.

dV = -9 cos²3y* sin 3y dy.

dV = -9 cos²3 * *sin 3 * * 0,01 = -9 cos² *sin * 0,01 = -9 (√3/2)² * *0,01 = - * 0,01 = -3,375 * 0,01 = 0,03375.

 

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.

Приращение функции связано с дифференциалом функции следующим соотношением:

Δу ≈ dy.

Пример 14. Вычислить приближенное значение приращения функции у = х² +2х+5 при изменении аргумента от х = 2 до х = 2,001.

Решение. Находим дифференциал функции:

dy = (х² +2х+5)´dx. dy = (2x+2) dx.

Находим приращение аргумента: Δх = 2,001 – 2= 0,001, тогда dy = (2*2+2)*0,001= 0,006 и Δy ≈ 0,006.

Пример 15. Вычислить приближенное значение функции у = х³+х²-2х при х = 2,01.

Решение: Для нахождения приближенного значения функции воспользуемся формулой: ƒ(х۪ +Δх) ≈ ƒ(х۪) +dy.

В нашем примере х۪+ Δх = 2,01, следовательно, х۪ = 2, Δх = 0,01.

Сначала найдем значение функции в точке х۪ = 2.

ƒ(2) = 2³+2²-2*2 = 8. Затем найдем дифференциал функции dy= (x³+x²-2x)´dx, dy = (3x²+2x-2)dx и вычислим дифференциал при х۪=2 и Δх=0,01.

dy = (3*2²+2*2-2)* 0,01 = 0,14, следовательно, ƒ(2,01) ≈ 8+0,14 = 8,14.

Пример 16. Найти приближенное значение

Решение: Нам надо найти приближенное значение функции у = при х = 0,988; dx = Δх = 0,988-1= - 0,012.

ƒ(0,988) ≈ ƒ(1) + dy

ƒ(1) =

dy = ()´dx = * dx = = ;

dy = = - 0,004

Тогда ≈ 1 – 0,004 = 0,996.

Пример 17. Объем куба, ребро которого равно 4см при нагревании увеличилось на 0, 96 см³. как при этом увеличилось ребро куба?

Решение: объем куба с ребром х вычисляется по формуле V = х³. Так как ΔV ≈ dy, то dV ≈ 0,96 см³. Дифференциал функции вычисляем по формуле: dV = V´dx, следовательно, dx = dV/V´.

Найдем V´= (x³)´= 3x²; V´(4) = 3*4²= 48.

Тогда, dx = 0,96/48 = 0,02; Δх = dx = 0,02 см, т. е. ребро куба увеличилось на 0,02см.

 

Тема 1.3 Интеграл и его приложения. Неопределённый интеграл

Понятие неопределённого интеграла.

Дифференцирование- это действие, с помощью которого по данной функции находиться её производная или дифференциал. Так, по данному закону движения тела S=S(t) мы путём дифференцирования находим скорость , а затем и ускорение . По данному уравнению кривой определяли угловой коэффициент касательной, проведённой к этой кривой:

На практике часто приходиться решать обратную задачу: по известной скорости движения тела устанавливать закон его движения, по данному угловому коэффициенту касательной к кривой находить её уравнение. Иначе говоря, по данной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т.е. выполнять действие, обратное дифференцированию. Это действие называется интегрированием, а функция, восстановленная по производной, называется первообразной и обозначается F(x)+C

Совокупность F(x)+C всех первообразных функций

на промежутке (a;b) называется неопределённым интегралом от функции на этом промежутке: . называется подынтегральным выражением; - подынтегральная функция; С - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла.

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

;

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

4. Неопределённый интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределённых интегралов от каждой функции:

Основные формулы интегрирования


1.

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

9.

 

10.

 

11.

 

 


Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование- это способ интегрирования, при котором данный интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример1. Найти интеграл

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию, применяя свойства степени

;

 

Пример 2. Найти интеграл .

Решение: Раскроем по формуле (а-в)²=а²-2ав+в² скобки . и разобьем интеграл согласно свойствам на сумму интегралов:

Интегрирование методом подстановки.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу. Который сравнительно легко берётся непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1) Часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) Найти дифференциал от обеих частей замены;

3) Всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную(после чего должен получиться табличный интеграл);

4) Найти полученный табличный интеграл;

5) Сделать обратную замену.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение Введём замену: 5-3x=t, тогда -3dx=dt, откуда . Далее получаем

Пример 4. Найти интеграл

Решение. Введём замену 2+cosx=t, тогда –sinxdx=dt, откуда sinxdx=-dt. Далее получаем

 

Определённый интеграл. Понятие определённого интеграла.

 

Пусть функция y=f(x)определена на отрезке и на этом отрезке принимает только положительные значения. Разобьём этот отрезок на n равных частей, т.е. получим n равных отрезков, длина которого равна

В каждом отрезке произвольным образом выберем точку и составим сумму:

Эта сумма называется интегральной суммой.

 

Геометрически каждое слагаемое

интегральной суммы равно площади

прямоугольника с основанием

и высотой , а вся сумма равна

площади ступенчатой фигуры. Будем

увеличивать число делений, сумма

будет стремиться к некоторому

конечному пределу независимо от

выбора

. Этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) на отрезке и обозначается:

Число а называется нижним пределом, число в - верхним пределом. Если f(x)>0 на , то численно равен площади криволинейной трапеции аАВв, ограниченной прямыми х=а, х=в, т.е.

Основные свойства определённого интеграла.

1. , где - любое действительное число.

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположенный:

3. Отрезок интегрирования можно разбить на части: a<c<b

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

 

Методы вычисления определённого интеграла.

1. Непосредственное вычисление определённого интеграла. В этом случае

применяется формула Ньютона-Лейбница

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение Применяем 5свойство и находим первообразную, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определённый интеграл:

Пример 6 Вычислить интеграл

Решение Воспользуемся определением степени с дробными показателями, правилом деления суммы на число и вычислением определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

2. Вычисление определённого интеграла методом подстановки.

Вычисление определённого интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) найти новые пределы определённого интеграла;

4) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

5) вычислить полученный табличный интеграл.

Пример 7 Вычислить интеграл

Решение Произведём замену , тогда . Найдём новые границы интеграла . Выразим подынтегральное выражение через t и dt и перейдём к новым границам интегрирования, получаем

Пример 8 Вычислит интеграл

Решение: 1-cosx=t; sinxdx=dt; ;

 

 

Приложения определённого интеграла.

Понятие определённого интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

 

Площади плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции y=f(x), осью ОХ и двумя параллельными прямыми х=а и х=в, вычисляется по формуле , если и ,если

Пример 9 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью ох

Решение: Найдём границы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций и у=0, для этого решим уравнение 6х-х²-5=0,
х²-6х+5=0,

Найдём искомую площадь фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной

двумя функциями и ,

изображёнными на рисунке вычисляются

по формуле


Пример 10 вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=4-х² и у=х²-2х

Решение Найдём точки пересечения

линий, для этого решим

систему

Имеем 4-x²=x²-2x, 2x²-2x-4=0, x²-x-2=0

Искомую площадь

вычисляем по формуле:

Объём тела вращения.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной функцией , осью ОХ, и двумя параллельными прямыми х=а, х=в

Вычисляется по формуле:

Пример 11. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболой y²=2x, прямой х=3 и осью ОХ.

 

Решение. Применяя формулу,

находим

Объём тела, образованного вращением

вокруг оси ОУ криволинейной трапеции,

ограниченной непрерывной функцией

y=f(x), осью ОУ и двумя параллельными

прямыми у=а, у=в, вычисляется по формуле:

Пример 12. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной параболой у=х² и прямой у=4

 

 

Решение. Применяя формулу,

находим

 

 

Нахождение пройденного пути. Если тело движется прямолинейно со скоростью V=V(t), то путь, пройденный телом за промежуток времени вычисляется по формуле

Пример 13. Тело движется прямолинейно со скоростью .Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Решение. Найдём момент времени, когда тело остановилось, т.е. решим уравнение Следовательно тело остановилось через 4 секунды.

Путь, пройденный телом за это время, находится по формуле:

Нахождение работы переменной силы. Если переменная сила F=F(x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке вычисляется по формуле:

Пример 14 Вычислить работу, которую нужно совершить при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 1см требуется сила 10 Н.

Решение. Согласно закону Гука,сила F, растягивающая или сжимающая пружину на х метров, равна F=kx, где k-коэффициент упругости пружины. Из условия следует 10=0,01k т.е. k=1000. искомую работу находим по формуле:

Пример 15 Для сжатия пружины на 3 см необходимо совершить работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 144 Дж?

 

Решение. По закону Гука F=kx, тогда

Так как , то

Так как

Итак, пружину можно сжать на 0,09м

 

 

Нахождение силы давления жидкости. Сила давления Р жидкости плотности на вертикальную пластину, погружённую в жидкость, вычисляется по формуле: где g=9.81- ускорение свободного падения

Пример 16. вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой 3м и радиусом 1м.

 

Решение. Развертка боковой поверхности

цилиндрического бака представляет собой

прямоугольник со сторонами и Н.

 

Плотность бензина 800кг/м³

Пример 17. Вычислить силу давления воды на погружённую в неё вертикальную пластину. Имеющую форму треугольника с основанием 6 м и высотой 2м, предполагая. Что вершина этого треугольника лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей.

 
 


Решение. Пусть на глубине OE=x

ширина пластины MN. Из подобия

находим или

тогда

Тема1.4 Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, её производную (или дифференциал независимой переменной и дифференциал функции)

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Общий вид такого уравнения . Общим решением дифференциального уравнения 1-ого порядка называется функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Частным решением дифференциального уравнения 1-ого порядка называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С.

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения 1-ого порядка при заданном начальном условии называется задачей Коши. Это означает, что из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит через точку .

Пример 1. Составить уравнение кривой , если угловой коэффициент касательной, проведённой в любой точке кривой, равен 2х.

 

Решение. На основании геометрического смысла производной , где k- угловой коэффициент касательной. Согласно условию k=2x. Составим дифференциальное уравнение первого порядка: .

Чтобы найти функцию надо проинтегрировать обе части уравнения.: , получили общее решение уравнения.

Геометрически это решение

представляет собой семейство

парабол с вершиной на оси ОУ,

симметричных относительно этой

оси.

Чтобы из общего решения

выделить частное решение, надо

задать начальные условия. Пусть

у=-1 при х=1, тогда общее решение

примет вид -1=1+с, с=-2. Геометрически частное решение представляет собой параболу, проходящую через точку (1;-1).

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида ,где заданные функции.

Алгоритм решения данного уравнения:

1) переписать производную через дифференциалы;

2) разделить переменные

3) проинтегрировать обе части равенства и найти общее решение в виде функции

4) если заданы начальные условия при , то найти частное решение.

 

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Перепишем производную через дифференциалы . Разделим переменные . Проинтегрируем обе части равенства (для удобства вместо постоянной с записали lnc). Применяя свойства логарифма, имеем , получили общее решение уравнения.

 

Пример 3. Решить уравнение , если при х=1

Решение Второе слагаемое переносим в правую часть равенства обе части разделим на , имеем: Проинтегрируем обе части равенства -общее решение уравнения. Подставим начальные условия и найдём частное решение частное решение.

 

 

Тема 2.1 Элементы теории вероятностей.

Основные понятия комбинаторики

Основные понятия комбинаторики.

Задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и производить подсчёт числа всех возможных таких комбинаций, называются комбинаторными. К основным комбинаторным понятиям относятся размещение, перестановки, сочетания.

Размещение Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее по к элементов, называется размещение из n элементов по к элементов.

Число размещений из n элементов по к элементов обозначается и вычисляется по формуле .

Для краткости произведения первых n натуральных чисел принято обозначать n! (n-факториал) 1*2*3….n=n! условились считать, что 0!=1.

Тогда формулу числа размещений из n элементов по к элементов можно записать в другом виде:

Условились считать

Пример 1. Сколькими способами из группы, включающей 25 студентов, можно выбрать актив группы в составе 3 человек?

 

Решение. Состав актива группы является упорядоченным множеством из 25 элементов по 3 элемента. Значит, искомое число способов равно числу размещений из 25 элементов по три элемента в каждом:

Перестановки Размещение из n элементов по n элементов называются перестановки из n элементов.

Так как каждая перестановка содержит n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Число размещений из n элементов данного множества обозначается и вычисляется по формуле

Пример 2. четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 без повторений.

Решение. По условию дано множество, содержащее 4 элементов, которые требуется расположить в определённом порядке. Т.е. . Следовательно, без повторений можно составить 24 четырёхзначных числа.

 

Сочетание Пусть дано множество, содержащее n элементов. Каждое его подмножество, содержащее к элементов, называется сочетанием из n элементов по к элементов.

Таким образом, сочетания из n элементов по к элементов- это все к - элементные подмножества n -элементного множества, причём различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными. Число сочетаний из n элементов к элементов обозначается и вычисляется по формулам:

Число сочетаний ()

 

Пример 3. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

 

Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. значит искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом.

 

Случайные события. Вероятность события.

Теория вероятностей- это математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и случайные события.

Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдёт какое-либо событие.

Например, бросание монеты- испытание, появление герба или цифры - событие.

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может не произойти.

Например, выстрел по цели- это опыт, случайное событие в этом опыте- попадание в цель или промах.

Событие в данных условиях называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдёт.

Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости - достоверное событие; выпадение десяти очков при бросании одной игральной кости - невозможное событие.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Например, попадание и промах при одном выстреле – это несовместные события.

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непрерывно должен произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении 1,2,3,4,5,6 очков, образуют полную систему событий.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объектом более возможным, чем другие. Например, при бросании монет выпадение герба или числа – событие равновозможные.

Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Числовая мера степени объективной возможности события - это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А).

Пусть в системе исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называется отношение m числа исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называется отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А, к числа всех исходов данного испытания:

Эта формула называется классическим определением вероятности.

Если U- достоверное событие, то P(U)=1,если V- невозможное событие, то Р(V)=0,если А- случайное событие, то и . Таким образом вероятность события заключается в следующих пределах:

Пример 4. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность события А- появление чётного числа очков; В- появление не менее пяти очков; С- появление не более пяти.

 

Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов, т.е. n=6

Событию А благоприятствуют 3 исхода, поэтому . Событию В благоприятствует 2 исхода, поэтому . Событию С благоприятствует 5 исходов, поэтому .

При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинирования.

Пример 5. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные?

 

Решение. Событие А- вынуто два красных шара. Число равновозможных независимых исходов равно

Событию А благоприятствуют исходов следовательно, .

Пример 6. девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определённые книги окажутся поставленными рядом.

 

Решение. А- четыре книги поставлены рядов. Число равновозможных независимых исходов равно подсчитаем число исходов m,что четыре определённые книги связаны вместе, тогда эту связку можно расположить на полке способами (связка плюс пять остальных книг). Внутри связки четыре книги можно переставить способами. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждым из способов образоваться связки, т.е.

Следовательно,

 

Пример7. В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найти вероятность того, что среди этих 6 деталей окажутся 2 бракованных.

 

Решение. Событие А- среди 6 деталей 2 бракованные. Число равновозможных независимых испытаний равно

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Среди наугад выбранных 6 деталей должны быть 2 бракованных и 4 стандартные детали. Две бракованные детали можно выбрать

Четыре стандартных детали из 19 стандартных можно выбрать Каждая комбинация бракованных деталей может сочетаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому .Следовательно,

 

 

Таблица вариантов







Вариант Номера заданий Вариант Номера заданий
  7, 38, 70, 95, 101, 126, 151, 194, 217   1, 27, 53, 78, 110, 135, 160, 180, 206
  14, 29, 54, 79, 104, 129, 154, 179, 204   2, 28, 54, 79, 104, 129, 154, 179, 205
  20, 35, 58, 83, 108, 133, 158, 184, 225   3, 26, 51, 76, 101, 126, 151, 176, 201
  9, 34, 69, 94, 118, 143, 168, 192, 224   4, 29, 55, 80, 105, 130, 155, 181, 202
  12, 33, 59, 84, 112, 137, 162, 190, 220   11, 30, 56, 81, 106, 131, 156, 177, 203
  10, 32, 53, 78, 107, 130, 155, 183, 209   9, 32, 57, 82, 108, 133, 158, 199, 224
  19, 35, 64, 89, 114, 139, 164, 193, 216   7, 33, 61, 86, 109, 134, 159, 178, 204
  11, 37, 52, 77, 109, 134, 159, 185, 212   8, 31, 52, 77, 102, 127, 152, 182, 207
  15, 47, 55, 80, 103, 128, 153, 189, 208   5, 34, 65, 90, 110, 135, 160, 183, 223
  2, 43, 51, 76, 102, 127, 152, 178, 223   23, 48, 73, 98, 123, 148, 173, 198, 208
  4, 30, 65, 90, 116, 141, 166, 177, 214   25, 35, 74, 99, 124, 149, 174, 197, 222
  18, 49, 61, 86, 122, 147, 172, 176, 219   6, 45, 59, 84, 118, 143, 168, 192, 216

Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 1404. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

ТЕОРИЯ ЗАЩИТНЫХ МЕХАНИЗМОВ ЛИЧНОСТИ В современной психологической литературе встречаются различные термины, касающиеся феноменов защиты...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия