Дифференциал функции. Понятие дифференциала функции
По определению производной имеем Из теории пределов известно, что Пример 12. Найти дифференциал функции у = (2х³-4) Решение: dy = ((2х³-4) dy = 5 (2х³-4) dy = 5(2х³-4) dy = 30х² (2х³-4) Пример 13. Вычислить значение дифференциала функции V = cos³3y при у = Решение. Дифференциал функции вычисляется по формуле dv = v´(y) dy. dV = (cos³3y)´ dy; dV = 3cos³3y* (cos 3y)´ dy. dV = 3cos²3y *(-sin 3y)*(3y)´ dy. dV = -9 cos²3y* sin 3y dy. dV = -9 cos²3 *
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Приращение функции связано с дифференциалом функции следующим соотношением: Δу ≈ dy. Пример 14. Вычислить приближенное значение приращения функции у = х² +2х+5 при изменении аргумента от х = 2 до х = 2,001. Решение. Находим дифференциал функции: dy = (х² +2х+5)´dx. dy = (2x+2) dx. Находим приращение аргумента: Δх = 2,001 – 2= 0,001, тогда dy = (2*2+2)*0,001= 0,006 и Δy ≈ 0,006. Пример 15. Вычислить приближенное значение функции у = х³+х²-2х при х = 2,01. Решение: Для нахождения приближенного значения функции воспользуемся формулой: ƒ(х۪ +Δх) ≈ ƒ(х۪) +dy. В нашем примере х۪+ Δх = 2,01, следовательно, х۪ = 2, Δх = 0,01. Сначала найдем значение функции в точке х۪ = 2. ƒ(2) = 2³+2²-2*2 = 8. Затем найдем дифференциал функции dy= (x³+x²-2x)´dx, dy = (3x²+2x-2)dx и вычислим дифференциал при х۪=2 и Δх=0,01. dy = (3*2²+2*2-2)* 0,01 = 0,14, следовательно, ƒ(2,01) ≈ 8+0,14 = 8,14. Пример 16. Найти приближенное значение Решение: Нам надо найти приближенное значение функции у = ƒ(0,988) ≈ ƒ(1) + dy ƒ(1) = dy = ( dy = Тогда Пример 17. Объем куба, ребро которого равно 4см при нагревании увеличилось на 0, 96 см³. как при этом увеличилось ребро куба? Решение: объем куба с ребром х вычисляется по формуле V = х³. Так как ΔV ≈ dy, то dV ≈ 0,96 см³. Дифференциал функции вычисляем по формуле: dV = V´dx, следовательно, dx = dV/V´. Найдем V´= (x³)´= 3x²; V´(4) = 3*4²= 48. Тогда, dx = 0,96/48 = 0,02; Δх = dx = 0,02 см, т. е. ребро куба увеличилось на 0,02см.
Тема 1.3 Интеграл и его приложения. Неопределённый интеграл Понятие неопределённого интеграла. Дифференцирование- это действие, с помощью которого по данной функции находиться её производная или дифференциал. Так, по данному закону движения тела S=S(t) мы путём дифференцирования находим скорость На практике часто приходиться решать обратную задачу: по известной скорости движения тела устанавливать закон его движения, по данному угловому коэффициенту касательной к кривой находить её уравнение. Иначе говоря, по данной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т.е. выполнять действие, обратное дифференцированию. Это действие называется интегрированием, а функция, восстановленная по производной, называется первообразной и обозначается F(x)+C Совокупность F(x)+C всех первообразных функций на промежутке (a;b) называется неопределённым интегралом от функции Свойства неопределённого интеграла. 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:
4. Неопределённый интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределённых интегралов от каждой функции:
Основные формулы интегрирования 1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 9.
10.
11.
Методы интегрирования Непосредственное интегрирование- это способ интегрирования, при котором данный интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Пример1. Найти интеграл Решение: Преобразуем подынтегральную функцию, применяя свойства степени
Пример 2. Найти интеграл Решение: Раскроем по формуле (а-в)²=а²-2ав+в² скобки Интегрирование методом подстановки. Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу. Который сравнительно легко берётся непосредственно. Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему: 1) Часть подынтегральной функции заменить новой переменной; 2) Найти дифференциал от обеих частей замены; 3) Всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную(после чего должен получиться табличный интеграл); 4) Найти полученный табличный интеграл; 5) Сделать обратную замену. Пример 3. Найти интеграл Решение Введём замену: 5-3x=t, тогда -3dx=dt, откуда Пример 4. Найти интеграл Решение. Введём замену 2+cosx=t, тогда –sinxdx=dt, откуда sinxdx=-dt. Далее получаем
Определённый интеграл. Понятие определённого интеграла.
Пусть функция y=f(x)определена на отрезке В каждом отрезке произвольным образом выберем точку
Геометрически каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием и высотой площади ступенчатой фигуры. Будем увеличивать число делений, сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу независимо от выбора
Число а называется нижним пределом, число в - верхним пределом. Если f(x)>0 на Основные свойства определённого интеграла. 1. 2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположенный: 3. Отрезок интегрирования можно разбить на части: 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:
Методы вычисления определённого интеграла. 1. Непосредственное вычисление определённого интеграла. В этом случае применяется формула Ньютона-Лейбница Пример 5. Вычислить интеграл Решение Применяем 5свойство и находим первообразную, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определённый интеграл: Пример 6 Вычислить интеграл Решение Воспользуемся определением степени с дробными показателями, правилом деления суммы на число и вычислением определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница
2. Вычисление определённого интеграла методом подстановки. Вычисление определённого интеграла методом подстановки состоит в следующем: 1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной; 2) найти дифференциал от обеих частей замены; 3) найти новые пределы определённого интеграла; 4) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 5) вычислить полученный табличный интеграл. Пример 7 Вычислить интеграл Решение Произведём замену Пример 8 Вычислит интеграл Решение: 1-cosx=t; sinxdx=dt;
Приложения определённого интеграла. Понятие определённого интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.
Площади плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции y=f(x), осью ОХ и двумя параллельными прямыми х=а и х=в, вычисляется по формуле Пример 9 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой Решение: Найдём границы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций
Площадь фигуры, ограниченной двумя функциями изображёнными на рисунке вычисляются по формуле
Решение Найдём точки пересечения линий, для этого решим систему Имеем 4-x²=x²-2x, 2x²-2x-4=0, x²-x-2=0
Искомую площадь вычисляем по формуле: Объём тела вращения. Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной функцией Вычисляется по формуле: Пример 11. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболой y²=2x, прямой х=3 и осью ОХ.
Решение. Применяя формулу, находим Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной функцией y=f(x), осью ОУ и двумя параллельными прямыми у=а, у=в, вычисляется по формуле: Пример 12. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной параболой у=х² и прямой у=4
Решение. Применяя формулу, находим
Нахождение пройденного пути. Если тело движется прямолинейно со скоростью V=V(t), то путь, пройденный телом за промежуток времени Пример 13. Тело движется прямолинейно со скоростью Решение. Найдём момент времени, когда тело остановилось, т.е. решим уравнение Путь, пройденный телом за это время, находится по формуле: Нахождение работы переменной силы. Если переменная сила F=F(x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке Пример 14 Вычислить работу, которую нужно совершить при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 1см требуется сила 10 Н. Решение. Согласно закону Гука,сила F, растягивающая или сжимающая пружину на х метров, равна F=kx, где k-коэффициент упругости пружины. Из условия следует 10=0,01k т.е. k=1000. искомую работу находим по формуле: Пример 15 Для сжатия пружины на 3 см необходимо совершить работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 144 Дж?
Решение. По закону Гука F=kx, тогда Так как
Так как Итак, пружину можно сжать на 0,09м
Нахождение силы давления жидкости. Сила давления Р жидкости плотности Пример 16. вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой 3м и радиусом 1м.
цилиндрического бака представляет собой прямоугольник со сторонами
Плотность бензина 800кг/м³
Пример 17. Вычислить силу давления воды на погружённую в неё вертикальную пластину. Имеющую форму треугольника с основанием 6 м и высотой 2м, предполагая. Что вершина этого треугольника лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей.
ширина пластины MN. Из подобия
Тема1.4 Дифференциальные уравнения Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, её производную (или дифференциал независимой переменной и дифференциал функции) Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения Частным решением дифференциального уравнения 1-ого порядка называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С. График любого частного решения дифференциального уравнения Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения 1-ого порядка при заданном начальном условии Пример 1. Составить уравнение кривой
Решение. На основании геометрического смысла производной
Геометрически это решение представляет собой семейство парабол с вершиной на оси ОУ, симметричных относительно этой оси. Чтобы из общего решения
задать начальные условия. Пусть у=-1 при х=1, тогда общее решение примет вид -1=1+с, Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида Алгоритм решения данного уравнения: 1) переписать производную через дифференциалы; 2) разделить переменные 3) проинтегрировать обе части равенства 4) если заданы начальные условия
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Перепишем производную через дифференциалы
Пример 3. Решить уравнение Решение Второе слагаемое переносим в правую часть равенства
Тема 2.1 Элементы теории вероятностей. Основные понятия комбинаторики Основные понятия комбинаторики. Задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и производить подсчёт числа всех возможных таких комбинаций, называются комбинаторными. К основным комбинаторным понятиям относятся размещение, перестановки, сочетания. Размещение Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее по к элементов, называется размещение из n элементов по к элементов. Число размещений из n элементов по к элементов обозначается Для краткости произведения первых n натуральных чисел принято обозначать n! (n-факториал) 1*2*3….n=n! условились считать, что 0!=1. Тогда формулу числа размещений из n элементов по к элементов можно записать в другом виде: Условились считать Пример 1. Сколькими способами из группы, включающей 25 студентов, можно выбрать актив группы в составе 3 человек?
Решение. Состав актива группы является упорядоченным множеством из 25 элементов по 3 элемента. Значит, искомое число способов равно числу размещений из 25 элементов по три элемента в каждом: Перестановки Размещение из n элементов по n элементов называются перестановки из n элементов. Так как каждая перестановка содержит n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. Число размещений из n элементов данного множества обозначается Пример 2. четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 без повторений. Решение. По условию дано множество, содержащее 4 элементов, которые требуется расположить в определённом порядке. Т.е.
Сочетание Пусть дано множество, содержащее n элементов. Каждое его подмножество, содержащее к элементов, называется сочетанием из n элементов по к элементов. Таким образом, сочетания из n элементов по к элементов- это все к - элементные подмножества n -элементного множества, причём различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными. Число сочетаний из n элементов к элементов обозначается Число сочетаний
Пример 3. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?
Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. значит искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом.
Случайные события. Вероятность события. Теория вероятностей- это математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и случайные события. Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдёт какое-либо событие. Например, бросание монеты- испытание, появление герба или цифры - событие. Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может не произойти. Например, выстрел по цели- это опыт, случайное событие в этом опыте- попадание в цель или промах. Событие в данных условиях называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдёт. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости - достоверное событие; выпадение десяти очков при бросании одной игральной кости - невозможное событие. События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле – это несовместные события. Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непрерывно должен произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении 1,2,3,4,5,6 очков, образуют полную систему событий. События называются равновозможными, если ни одно из них не является объектом более возможным, чем другие. Например, при бросании монет выпадение герба или числа – событие равновозможные. Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Числовая мера степени объективной возможности события - это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А). Пусть в системе исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называется отношение m числа исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называется отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А, к числа всех исходов данного испытания: Эта формула называется классическим определением вероятности. Если U- достоверное событие, то P(U)=1,если V- невозможное событие, то Р(V)=0,если А- случайное событие, то Пример 4. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность события А- появление чётного числа очков; В- появление не менее пяти очков; С- появление не более пяти.
Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов, т.е. n=6 Событию А благоприятствуют 3 исхода, поэтому При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинирования. Пример 5. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные?
Решение. Событие А- вынуто два красных шара. Число равновозможных независимых исходов равно Событию А благоприятствуют Пример 6. девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определённые книги окажутся поставленными рядом.
Решение. А- четыре книги поставлены рядов. Число равновозможных независимых исходов равно Следовательно,
Пример7. В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найти вероятность того, что среди этих 6 деталей окажутся 2 бракованных.
Решение. Событие А- среди 6 деталей 2 бракованные. Число равновозможных независимых испытаний равно Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Среди наугад выбранных 6 деталей должны быть 2 бракованных и 4 стандартные детали. Две бракованные детали можно выбрать Четыре стандартных детали из 19 стандартных можно выбрать
Таблица вариантов
|
ƒ ´(x)= 
.
.
* (2х³-4)´ dх
*sin 
*0,01 = - 
* 0,01 = -3,375 * 0,01 = 0,03375.
при х = 0,988; dx = Δх = 0,988-1= - 0,012.
* 
dx = 
= 
;
= - 0,004
, а затем и ускорение 
. По данному уравнению кривой 
определяли угловой коэффициент касательной, проведённой к этой кривой: 
. 
называется подынтегральным выражением; 
; 
; 
.
. и разобьем интеграл согласно свойствам на сумму интегралов: 
.
. Далее получаем 
и на этом отрезке принимает только положительные значения. Разобьём этот отрезок на n равных частей, т.е. получим n равных отрезков, длина которого равна 
и составим сумму: 
Эта сумма называется интегральной суммой.
, а вся сумма равна
численно равен площади криволинейной трапеции аАВв, ограниченной прямыми х=а, х=в, т.е. 
, где 
- любое действительное число.
a<c<b
, тогда 
. Найдём новые границы интеграла 
. Выразим подынтегральное выражение через t и dt и перейдём к новым границам интегрирования, получаем 
; 
и 
,если 
и осью ох
Найдём искомую площадь фигуры.
и 
,
Пример 10 вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=4-х² и у=х²-2х
вычисляется по формуле 
.Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.
Следовательно тело остановилось через 4 секунды.
вычисляется по формуле: 
, то 
на вертикальную пластину, погружённую в жидкость, вычисляется по формуле: 
где g=9.81- ускорение свободного падения
Решение. Развертка боковой поверхности
и Н.
Решение. Пусть на глубине OE=x
находим 
или
тогда
. Общим решением дифференциального уравнения 1-ого порядка называется функция 
, которая обращает это уравнение в тождество.
называется задачей Коши. Это означает, что из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит через точку 
.
, где k- угловой коэффициент касательной. Согласно условию k=2x. Составим дифференциальное уравнение первого порядка: 
.
Чтобы найти функцию 
, получили общее решение уравнения.
выделить частное решение, надо
с=-2. Геометрически частное решение 
представляет собой параболу, проходящую через точку (1;-1).
,где 
заданные функции.
и найти общее решение в виде функции 
при 
, то найти частное решение.
. Разделим переменные 
. Проинтегрируем обе части равенства 
(для удобства вместо постоянной с записали lnc). Применяя свойства логарифма, имеем 
, получили общее решение уравнения.
, если 
при х=1
обе части разделим на 
, имеем: 
Проинтегрируем обе части равенства 
-общее решение уравнения. Подставим начальные условия и найдём частное решение 
частное решение.
и вычисляется по формуле 
.
и вычисляется по формуле 
. Следовательно, без повторений можно составить 24 четырёхзначных числа.
и вычисляется по формулам: 
(
)
и 
. Таким образом вероятность события заключается в следующих пределах: 
. Событию В благоприятствует 2 исхода, поэтому 
. Событию С благоприятствует 5 исходов, поэтому 
.
исходов следовательно, 
.
подсчитаем число исходов m,что четыре определённые книги связаны вместе, тогда эту связку можно расположить на полке 
способами (связка плюс пять остальных книг). Внутри связки четыре книги можно переставить 
способами. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждым из 
способов образоваться связки, т.е. 
Каждая комбинация бракованных деталей может сочетаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому 
.Следовательно, 
