ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Производная.

Пусть функция y = f(x) определена на промежутке (а, в). Из этого промежутка возьмем два значения x и x , тогда x - x = Δx называется приращением аргумента, а f(x) – f(x ) = Δy приращением функции. Тогда предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю, называется производной и обозначается: f´(x) = или y´= .

Если функция f(x) имеет производную в точке x , то она называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (а, в), то она называется дифференцируемой на этом промежутке.

Пусть y = f(u), где u является не зависимой переменной, а функцией независимой переменной х:

u = , тогда функция y = f() называется сложной, а u промежуточным аргументом.

Правило дифференцирования сложной функции:

Если y = f(u) u = дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y = f() существует и равна произведению производной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной х:

y´(x) = y´(u) * u´(x).

Формулы дифференцирования:

1. c´ = 0

2. x´ = 1

3. (u ± v)´ = u´ ± v´

4. (u * v)´ = u´v + uv´

5.

6. Сложная функция:

7. 6а. (u) = nu u´

8. 7a.

9. 8a.

10. 9a.

11. 10a.

12. 11a.

13. 12a.

14. 13a.

15. 14a.

16. 15a.

17. 16a.

18. 17a.

19. 18a.

19a.

Пример 1. Найти производную функции y = .

Применяем формулы 2, 3, 6.

Решение: y = .

Пример 2. Найти производную функцию y = .

Решение. Применяем формулы 1, 3, 5, 6.

y = = = = ;

Пример 3. найти производную функции y = sin и вычислить ее значение при . Решение: Эта сложная функция с промежуточным аргументом sin . Используя формулы 6а и 12, имеем y

Пример 4. Найти производную функции

Теперь дифференцируем по формулам 3, 10, 10а, 6, 1:

;

Геометрический смысл производной.

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке, т.е. .

Уравнение касательной имеет вид: y-y = .

Пример 5. Составить уравнение касательной к графику функции y =

в точке с абсциссой х = 3.

Решение: Найдем производную функции:

найдем произведение производной при х = 3:

найдем значение функции при х = 3:

Уравнение касательной имеет вид: y-6 = 10 *(x-3) или y-6 = 10x-30, т.е. 10x-y-24=0.

Физический смысл производной.

При прямолинейном движении точки скорость в данный момент времени t-t есть производная пути, вычисленная при t = t , т.е. (t) =

Пример 6. Тело движется по закону S´(t) = (м). Найти скорость движения в конце первой секунды.

Решение: Найдем скорость тела в момент времени t (t) = , (1) = 15-6 =9 (м/с).

Вторая производная и ее физический смысл.

При прямолинейном движении точки ускорение, а в данный момент времени t=t есть производная скорости или вторая производная пути, вычисленная при t=t , т.е. a = или a =

Пример 7. Найти вторую производную функции и вычислить ее значение при x = 2.

Решение:Сначала найдем первую производную: = .

Найдем вторую производную:

Вычислим значение второй производной при x = 2.

Пример 8. Точка движется по прямой по закону .

Найти скорость и ускорение движения при .

Решение: Находим скорость в момент .

тогда Находим ускорение в момент , , тогда

Приложение производной к исследованию функций.

Чтобы построить график функции, нужно познакомиться с приложением производной к исследованию монотонности и экстремума функции, на нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба. При исследовании функции на монотонность необходимо применить достаточное условие возрастание и убывания функции: если дифференцируемая функция y = f(x) имеет положительную производную на промежутке (a; в), то она возрастает на этом промежутке; если y = f(x) имеет отрицательную производную на промежутке (a; в), то она убывает на этом промежутке.

При исследовании функции на экстремум необходимо применить необходимое и достаточное условие экстремума.

Достаточное условие экстремума. Если функция y = f(x) имеет экстремум при , то ее производная в этой точке равна нулю или бесконечности, или вовсе не существует, при этом сама функция в этой точке определена.

Точки, в которых производная равна нулю или бесконечности, или не существует, называется критическими. Необходимое условие экстремума позволяет определить критические точки. Для уточнения, какая из найденных точек является экстремальной, необходимо воспользоваться достаточным условием экстремума.

Достаточное условие экстремума:

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в окрестности критической точки , кроме, возможно, самой точки . Тогда:

1. если при переходе через производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум;

2. если при переходе через производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум;

3. если при переходе через производная не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

При исследовании функции на выпуклость необходимо применить достаточное условие выпуклости графика функции.

Достаточное условие выпуклости: график дифференцируемой функции y = f(x) является выпуклым вверх на промежутке (a; в), если <0 на этом промежутке; и выпуклым вниз на промежутке (a; в), если >0 на этом промежутке.

График функции y = f(x) может иметь два и более промежутков выпуклости. Точки, являющиеся концом одного промежутка выпуклости и началом другого, называются точками перегиба.

Необходимое условие существования точки перегиба:

если дифференцируемая функция y = f(x) имеет точку перегиба при , то .

Достаточное условие существования точки перегиба:

если при переходе через вторая производная функции y = f(x) меняет знак, то является точкой перегиба.

Общая схема исследования функций и построения их графиков:

· Найти область определения функции.

· Исследовать функцию на четность и нечетность.

· Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

· Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

· Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции.

· Построить график функции, используя все полученные результаты исследования. Если их окажется недостаточно, то следует найти еще несколько точек графика функции, исходя из ее уравнения.

Пример 9. Построить график функции .

Решение: 1. Областью определения функции служит множество действительных значений, т.е. Д(y) = R.

2. Исследуем на четность и нечетность функцию:

F(-x) = , т.е. f(-x) , . Значит, функция не является четной и нечетной.

3.Найдем очки пересечения графика функции с осями координат:

ОХ: y=0, y=0, y=0, y=0

, , x=0, x=4

OY: x=0

y=0

4. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции:

или 3-х=0, х=3.

Критические точки первого рода х=0 и х=3 отмечаем на числовой прямой и определяем знак первой производной в промежутках, на которые разбивают критические точки область определения функции.

Функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

При переходе через х = 3 производная изменила знак с (+) на (-), следовательно в этой точке функция имеет максимум.

5.Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:

Находим критические точки: x =0 или х=2.

Критические точки х=0 и х=2 разбивают область определения функции на промежутки, определяем знак второй производной в каждом промежутке:

На промежутках и график функции выпуклый вверх; на промежутке (0;2) график функции выпуклый вниз.

При переходе через точки х=0 и х=2 вторая производная поменяла знак, следовательно, эти точки являются точками перегиба.

y(0)=0; y(2)=

(0;0), (2; 3,2) – точки перегиба.

Найдем дополнительную точку графика функции: y(-1) = -1.

Все точки отмечаем на координатной плоскости и соединяем их плавной линией.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основано на следующих свойствах:

1) если в некотором промежутке (а; в) функция y = f(x) непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум, то он и является наибольшим значением функции, а если минимум – наименьшее значение функции в этом промежутке;

2) если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на концах этого отрезка.

Поэтому, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на , где она непрерывна, следует:

1. Найти экстремумы функции на данном отрезке.

2. Найти значен6ия функции на концах отрезка: f(a), f(в).

3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение: 1. Найдем экстремумы функции

x

x=0 или

x=-1, x=3

функция имеет максимум

функция имеет максимум

функция имеет минимум

2. Найдем значения функции на концах отрезка:

,

наибольшее значение: наименьшее значение:

Пример 11. требуется изготовить ящик с крышкой, стороны основания которого относятся как 1:2, а площадь полной поверхности 108 . Какими должны быть его размеры, чтобы его объем был наибольшим?

Решение: необходимо определить стороны основания а и в и высоту h прямоугольного параллелепипеда, чтобы при этих значениях его объем был наибольшим.

Пусть, а = х, т.к. а: в = 1:2, то в = 2x. Объем V = a*h*в = .

Надо выразить h через x и площадь полной поверхности S=108.

S = ; ; .

Тогда V =

Наибольшее значение функции и следует определить.

1. Область определения функции V является только положительные значения х, т.е. х>0.

2. Находим производную: V´= 0; 36-4x =0, x = ±3.

3. Находим вторую производную: функция имеет максимум.

4. a = 3, в = 6, h =

Следовательно, объем ящика будет наибольшим, если стороны его основания 3 см и 6см, а высота h = 4 см.