Заменив в (7.13) в соответствии с законом Ома , получим формулу

. (7.15)

Соотношение (7.15) было установлено экспериментально в 1841 г. английским физиком Д. Джоулем и независимо от него в 1842 г. русским ученым Э. Х. Ленцем и

носит название закона Джоуля–Ленца: количество теплоты, выделяющейся в единицу времени на участке цепи, при протекании по нему постоянного тока, равно произведению сопротивления участка цепи на квадрат силы тока.

 

Поскольку величины, фигурирующие в формуле (7.15), являются интегральными (характеризующими проводник конечных размеров), то можно сказать, что выражение (7.15) описывает закон Джоуля–Ленца в интегральной форме.

От формулы (7.15), определяющей теплоту, выделяющуюся во всем проводнике, можно перейти к выражению, характеризующему выделение теплоты в различных местах проводника. Выделим в проводнике таким же образом, как это было сделано при выводе формулы (7.9), элементарный объем в виде цилиндра (см. рис. 7.1). Согласно закону Джоуля–Ленца за время в этом объеме выделится теплота

, (7.16)

где – элементарный объем.

Разделив выражение (7.16) на и , найдем количество теплоты, выделяющееся в единице объема в единицу времени, – удельную тепловую мощность тока:

. (7.17)

Используя дифференциальную форму закона Ома [формула (7.9)] и соотношение , получим

. (7.18)

Формула (7.18) представляет собой дифференциальную форму закона Джоуля–Ленца.

Отметим, что Джоуль и Ленц установили свой закон для однородного участка цепи. Однако, как следует из выкладок, приведенных в данном параграфе, формулы (7.15) и (7.18) справедливы и для неоднородного участка при условии, что действующие в нем сторонние силы имеют нехимическое происхождение.

§ 5. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвленных электрических цепей значительно упрощается, если пользоваться правилами, сформулированными Кирхгофом. Этих правил два. Первое из них относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходятся более чем два проводника (рис. 7.3). При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла – отрицательным. Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: .(7.19)

Например (рис. 7.3), первое правило Кирхгофа запишется так:

.

Первое правило вытекает из закона сохранения электрического заряда.

В случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Уравнение (7.19) можно написать для каждого из N узлов цепи. Однако независимыми являются только N – 1 уравнений, N-e будет следствием из них.

Второе правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру (например, контур АВС на рис. 7.4). Зададим направление обхода (например, по часовой стрелке, на ри­с. 7.4). Если направление совпадает с направлением обхода контура, то ток считается положительным, а если не совпадает, – отрицательным. Применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома:

При сложении этих выражений потенциалы взаимно уничтожаются и получается уравнение

,

которое выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме эдс , встречающихся в этом контуре:

. (7.20)

Уравнение (7.20) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить мысленно в данной разветвленной цепи. Однако независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров один на другой.

При составлении уравнений второго правила Кирхгофа токам и эдс нужно приписывать знаки в соответствии с выбранным направлением обхода. Эдс также нужно приписать знак минус, так как она действует в направлении, противоположном направлению обхода. Направления обхода в каждом из контуров можно выбирать совершенно произвольно и независимо от выбора направлений в других контурах. При этом может случиться, что один и тот же ток либо одна и та же эдс войдет в разные уравнения с различными знаками. Это, однако, не имеет никакого значения, потому что изменение направления обхода вызывает лишь изменение всех знаков в уравнении (7.20) на обратные.

Число независимых уравнений, составленных в соответствии с первым и вторым правилами Кирхгофа, оказывается равным числу различных токов, текущих в разветвленной цепи. Поэтому, если заданы эдс и сопротивления для всех неразветвленных участков, то могут быть вычислены все токи.