Вычисление длины дуги кривой
DSi Dyi Dxi
a b x Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как Тогда длина дуги равна Из геометрических соображений: В то же время Тогда можно показать, что
Т.е. Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем
где х = j(t) и у = y(t). Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то
Если кривая задана в полярных координатах, то
Пример. Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
1 способ. Выразим из уравнения переменную у. Найдем производную Тогда Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r,
|
y y = f(x)
.
.
,
, r = r(j).
тогда
