Задачи на повторение

Содержание курса

 

Тема 1. Комбинаторика

 

§ 1. Перестановки, сочетания и размещения.

§ 2. Перестановки, сочетания и размещения с повторениями.

 

Тема 2. Случайные события

 

§ 3. Случайные события. Понятия вероятности.

§ 4. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность.

§ 5. Формула полной вероятности.

§ 6. Формула Байеса.

§ 7. Формула Бернулли.

 

Тема 3. Случайные величины

 

§ 8. Дискретные и непрерывные величины.

§ 9. Функция распределения и плотность распределения вероятности.

§ 10. Математическое ожидание и его свойства.

§ 11. Дисперсия и её свойства.

§ 12. Мода и медиана.

§ 13. Законы распределения. Дискретные распределения: геометрическое, биномиальное, Пуассона. Непрерывные распределения: равномерное, нормальное, показательное.

§ 14. Средние величины: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратичная, средняя кубическая.

 

Тема 4. Математическая статистика

 

§ 15. Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативность выборки.

§ 16. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма.

§ 17. Числовые характеристики выборки (выборочные средние, выборочная дисперсия, выборочная исправленная дисперсия). Эмпирическая функция распределения. Точечные оценки.

§ 18. Интервальные оценки.

§ 19. Выравнивание частот.

§ 20. Статистические гипотезы (основная и альтернативная гипотезы, простая и сложная гипотезы). Статистический критерий, критическая область допустимых значений критерия, уровень значимости, ошибки первого и второго рода.

§ 21. Проверка гипотез о значениях числовых параметров. F-критерий Фишера (для сравнения дисперсий) и t-критерий Стьюдента (для сравнения средних величин).

§ 22. Критерий Пирсона.

 

Тема 5. Элементы корреляционного и регрессионного анализа

 

§ 23. Определение параметров функциональной зависимости методом наименьших квадратов.

§ 24. Линейная корреляция (коэффициент линейной корреляции, способы его вычисления и свойства; уравнение прямой линии регрессии).

§ 25. Понятие регрессии, уравнение линии регрессии, определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.

§ 26. Криволинейная корреляция.

Тема 1. Комбинаторика

 

§ 1. Перестановки, сочетания и размещения

¾ перестановка n элементов ¾ размещение из n элементов по k (порядок важен!) ¾ сочетание из n элементов по k (порядок неважен!)

1. Сколькими способами 7 человек могут встать в очередь в кассу?

2. В финальной части первенства Европы по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами можно распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?

3. Сколько шестизначных чисел кратных пяти можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

4. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать шестёрку из 1 вратаря, 2 защитников и 3 нападающих?

5. Сколько существует различных телефонных номеров из 7 цифр?

6. В 7-м классе изучают 14 предметов. Сколькими способами можно расставить расписание на субботу, если в этот день 5 разных уроков?

7. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин?

8. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «задача»?

9. Кубок по футболу разыгрывают 6 команд 1-й лиги и 10 команд 2-й лиги. Сколькими способами можно разбить все команды на две группы по 8 команд так, чтобы в каждой группе было по 3 команды 1-й лиги?

10. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

11. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждую цифру можно использовать не более одного раза?

 

§ 2. Перестановки, сочетания и размещения с повторениями

 

¾ перестановка n элементов, среди которых a элементов 1-го типа, b элементов 2-го типа, c элементов 3-го типа,… ¾ размещение из n элементов по k с повторениями (порядок важен!) ¾ сочетание из n элементов по k с повторениями (порядок неважен!)

1. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика»?

2. Написать все сочетания из трёх элементов a,b,c с повторениями.

3. Сколько членов в клубе велосипедистов, если известно, что при их регистрации использованы все трёхзначные номера (кроме 000), не содержащие цифру 8?

4. Автомобильные номера состоят из трёх букв (используется 30 букв) и следующих за ними четырёх цифр (используются все цифры). Сколько существует таких номеров?

 

Тема 2. Случайные события

 

§ 3. Случайные события. Понятия вероятности

1. В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров. Найти вероятность появления синего, красного и белого шара при одном извлечении.

2. Забыли последние две цифры телефона; помнят, что они различны; набрали наудачу. Найти вероятность правильно набора. (1/90)

3. Монету бросают дважды. Найти вероятность того, что хотя бы 1 раз выпадет герб. (3/4)

4. На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются 2 карточки. Найти вероятность того, что сумма чисел на них равна 10. (4/105)

5. Группа туристов состоит из 15 юношей и 5 девушек. Выбирают по жребию хоз. команду из 4 человек. Найти вероятность того, что там окажется 2 юношей и 2 девушки. (0,2167)

6. В ящике 12 белых и 8 чёрных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что 1) оба шара белые; 2) шары разного цвета. (33/95, 48/95)

7. Собрание, состоящее из 30 человек (из них 8 женщин), выбирает делегацию из трёх человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут двое мужчин и одна женщина. (0,455)

8. В партии из 40 деталей 5 оказались с дефектом. Найти вероятность того, что взятые наугад 4 детали будут без дефекта. (0,573)

9. В ящике 10 шаров с номерами от 1 до 10. Найти вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10.

10. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 чёрных. Найти вероятность извлечения синего шара.

11. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули 2 шара. Найти вероятность того, что они белые. (1/3)

12. В лотерее 2000 билетов. На 1 билет падает выигрыш 100 руб., на 4 – по 50 руб., на 10 – по 20 руб., на 20 – по 10 руб., на 165 – по 5 руб., на 400 – по 1 руб.. Остальные билеты невыигрышные. Найти вероятность выиграть не менее 10 руб. (0,0175)

13. В урне 10 белых, 15 чёрных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули 1 шар. Найти вероятность того, что он 1) красный; 2) белый или чёрный; 3) не синий.

14.Колоду из 36 карт случайным образом делят пополам. Найти вероятность того, что в каждой пачке будет по 2 туза. (153/385)

15. На полке стоят 4 книги по алгебре и 3 по геометрии. Найти вероятность того, что книги по одному предмету будут рядом. (0,06)

16. Внутри эллипса x²/25+y²/16=1 расположена окружность x²+y²=0. Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и окружностью. (0,55)

 

§ 4. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность

 

Два события называются несовместными, если появление одного из них полностью исключает возможность появления другого. Два события называются независимыми, если появление одного из них никак не влияет на появление другого. Справедливы следующие теоремы: 1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: . 2. Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(A.B)=P(A).P(B). 3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. P(A.B)=P(A).P(B/A) или P(A.B)=P(B).P(A/B). Теорема 2 является частным случаем теоремы 3, так как для независимых событий P(B/A) - вероятность события В при условии наступления события А, то есть условная вероятность, равна безусловной вероятности . 4 Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: . Теоремы верны не только для двух событий, но и для большого числа.

 

1. Зачёт по стрельбе сдан, если у курсанта оценка не ниже 4. Найти вероятность сдачи зачёта, если известно, что он получит 5 с вероятностью 0,3 и 4 – с вероятностью 0,5.

2. В электрическую цепь включены последовательно 2 предохранителя. Вероятность выхода из строя первого равна 0,6; второго – 0,2. Найти вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из них. (0,68)

3. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают наугад 3 карты (без возвращения). Вычислить вероятность, что среди вынутых карт 1) точно 1 туз; 2) хотя бы 1 туз. (0,204; 0,98)

4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в одну цель по одному разу. Вероятность попадания в цель первого стрелка – 0,9, второго – 0,8. Найти вероятность поражения цели по крайней мере одним стрелком. (0,98)

5. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в одну цель по одному разу. Вероятность попадания в цель первого стрелка – 0,6, второго – 0,7. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

6. Рабочий обслуживает 3 станка, ремонтируя остановившиеся станки. Вероятность, что первый станок не остановится в течение часа равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,7. Найти вероятность того, что в течение часа рабочему не придётся подходить к станкам и ремонтировать их. (0,504)

7. Из партии изделий ОТК проверяет половину и признаёт годной всю партию, если среди проверенных изделий не более одного бракованного. Найти вероятность того, что партия из 20 изделий, в которой 2 бракованные, будет признана годной. (29/38)

8. В лотерее на серию 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Найти вероятность выигрыша на один билет. (0,2)

9. Каждое из четырёх несовместных событий может произойти с вероятностями соответственно 0,01; 0,02; 0,03 и 0,04. Найти вероятность того, что в результате опыта произойдёт хотя бы одно из этих событий. (0,1)

10. Найти вероятность извлечь из колоды (52 карты) фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама или король). (11/26)

11. В урне 10 белых, 20 чёрных и 30 синих шаров. Случайным образом достают 3 шара. Найти вероятность того, что все шары синие. (0,1186)

12. В урне находятся 5 белых и 20 чёрных шаров. Из урны последовательно вынимают шары до тех пор, пока не будет вынут белый шар. Найти вероятность того, что при этих условиях будет произведено 3 вынимания, т.е. что до первого белого шара будет вынуто 2 чёрных шара. (0,138)

13. На разных карточках разрезной азбуки написано 32 буквы русского алфавита. 5 карточек вынимают наугад одна за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «финал».

13. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают сразу 4 карты. Найти вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей. (0,106)

14. Одновременно бросили 4 игральных кубика. Найти вероятность того, что хотя бы на одном из них выпадет пятёрка. (0,5177)

15. Предприятие изготавливает 97% стандартных микросхем, из которых 90% потом сертифицируется. Найти вероятность того, что взятая наудачу микросхема, изготовленная на этом предприятии, окажется сертифицированной. (0,873)

16. Два торпедных катера одновременно выпустили по одной торпеде по цели. Вероятность попадания в цель у первого катера 0,6, у второго – 0,5. Найти вероятность того, что: а) обе торпеды попадут в цель; б) хотя бы одна торпеда попадёт в цель. (0,3; 0,8)

17. Три орудия произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия такова: для первого – 0,8; для второго – 0,6; для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадёт в цель; б) только два снаряда попадут в цель; в) все три снаряда попадут в цель. (0,116; 0,444; 0,432)

18. Гидрологический зонд состоит из четырёх основных элементов: блока измерения давления, блока измерения температуры, блока измерения электропроводности и блока кодировки и передачи информации. Неисправность любого из блоков приводит к невозможности получения необходимых данных. Вероятности выхода из строя блоков в течение месяца равны и составляют 0,02. Найти вероятность того, что во время рейса длительность 1 месяц зонд выйдет из строя. (0,076)

19. В урне находятся 7 белых, 13 чёрных, 10 зелёных и 3 красных шара. Случайным образом из урны достают 3 шара. Найти вероятность того, что все они одного цвета. (0,081)

20. Вероятность события А появиться хотя бы 1 раз при двух независимых испытаниях равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же). (0,5)

21. Зависимы или независимы: а) несовместные события; б) события образующие полную группу; с) равновозможные события. (зав.; зав.; и незав. и незав.)

 

§ 5. Формула полной вероятности

 

 

1. Из 50 изделий 18 изготовлено в первом цехе, 20 – во втором, остальные – в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, а второй – 0,6. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие будет отличного качества. (0,78)

2. Есть 3 набора радиоламп, первый из которых содержит 100 ламп, второй – 300, третий – 600. Вероятность, что лампа, взятая наугад из 1-го набора, стандартна равна 0,9; из второго – 0,85; из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что произвольно выбранная лампа стандартна. (0,825)

3. Студент К. знает не все билеты. Что для него выгодней: отвечать первым или вторым?

4. В первую команду шахматистов вошли 7 гроссмейстеров и 3 мастера спорта, во вторую – 4 гроссмейстера и 6 мастеров спорта. Сборная, составленная из двух команд, состоит из 10 человек: 8 человек из 1-й команды и 2 человека из 2-й. Из сборной наугад выбирается шахматист. Найти вероятность того, что он гроссмейстер. (0,64)

5. Есть 5 урн с цветными шарами: в двух урнах по 3 белых и 4 чёрных шара, в одной урне 10 белых шаров, а в двух остальных по 2 белых и 5 чёрных шаров. Наудачу выбирается урна, а из неё извлекается шар. Найти вероятность того, что извлечён чёрный шар. (18/35)

6. В урне 20 шаров, из которых 8 белых. Один шар укатился, и цвет его неизвестен. Вынимают один шар из оставшихся. Найти вероятность того, что он будет белым. (0,4)

7. По цели произведено 3 последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле 0,5; при втором – 0,6; при третьем – 0,8. При одном попадании вероятность поражения цели равна 0,4; при двух – 0,7; при трёх – 1,0. Найти вероятность поражения цели при трёх выстрелах. (0,666)

8. Два предприятия изготавливают однотипные детали. Первое предприятие даёт 10% брака, второе – 15%. Для контроля отобрано 20 деталей первого предприятия и 30 – второго. Детали смешаны в одну партию и из неё случайным образом отобрана одна деталь Найти вероятность того, что она бракованная. (0,13)

9. Техническое устройство работает 50% времени в первом режиме, 20% – во втором, 30% – в третьем. Надёжность (вероятность безотказной работы) устройства при работе в первом режиме 0.8, во втором – 0,9, в третьем – 0,7. Найти полную надёжность технического устройства. (0,79)

10. В первой урне 1 белый и 4 чёрных шара, а во второй – 1 белый и 7 чёрных шаров. В первую урну добавляют 2 шара, извлечённых из второй урны наугад. Найти вероятность того, что шар, наугад извлечённый из пополненной урны, будет белым. (5/28)

11. В первой урне находятся 3 белых и 5 чёрных шаров, во второй – 5 белых и 8 чёрных, в третьей – 8 белых и 4 чёрных. Случайным образом выбирают урну и наугад достают из неё 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. (0,2198)

12. В первой урне находятся 3 белых и 5 чёрных шаров, во второй – 5 белых и 8 чёрных, в третьей – 8 белых и 4 чёрных. Случайным образом выбирают урну и наугад достают из неё 2 шара. Найти вероятность того, что шары разных цветов. (0,255)

13. В магазин поступают мобильные телефоны от трёх различных производителей. Продукция первой фирмы содержит 5% телефонов со скрытым дефектом, второй – 3%, третьей – 2%. Найти вероятность приобретения исправного телефона, если в магазин поступило 40% телефонов от первого производителя, 25% – от второго и 35% – от третьего. (0,9655)

14. Группа студентов состоит из 5 отличников, 10 хорошистов и 10 троечников. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошисты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Троечники могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена наугад вызывается 1 студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку. (0,7333)

15. По цели производится 3 независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,1; при втором – 0,2; при третьем – 0,3. Для поражения цели достаточно двух попаданий, при одном попадании цель поражается с вероятностью 0,6. Найти вероятность поражения цели. (0,3368)

16. В одной урне 5 белых и 5 чёрных шаров, а в другой – 4 белых и 7 чёрных. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые. (0,038)

 

§ 6. Формула Байеса

 

, где

 

1. В цехе 60 ящиков с исправными деталями и 20 – с бракованными. Среди исправленных деталей 80% отникелированы, а из бракованных – 10%. Вынутая наугад деталь оказалась отникелирована. Найти вероятность того, что она исправна. (0,96)

2. Есть 5 урн с белыми и чёрными шарами: в двух урнах – по 2 белых и 3 чёрных шара; ещё в двух урнах – по одному белому и 4 чёрных шара; а в одной – 4 белых и 1 чёрный шар. Из одной наудачу выбранной урны извлечён шар, который оказался чёрным. Найти вероятность того, что он из урны, в которой 1 белый и 4 чёрных шара. (8/15)

3. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие прошедшее упрощённый контроль, удовлетворяет стандарту. (0,998)

4. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Найти вероятность того, что это мужчина. (Считать, что количество мужчин и женщин одинаково.) (20/21)

5. Счётчик регистрирует частицы трёх типов – А, В, С. Вероятность появления этих частиц Р(А)=0,2; Р(В)=0,5; Р(С)=0,3. Частицы каждого из этих типов счётчик улавливает с вероятностями Р₁=0,8; Р₂=0,2; Р₃=0,4. Счётчик отметил частицу. Найти вероятность того, что это была частица В. (0,2632)

6. Предохранитель в электронной цепи отказывает при коротком замыкании в электронной лампе с вероятностью 0,4; при замыкании в обмотке трансформатора – с вероятностью 0,6; при пробое конденсатора – с вероятностью 0,8; по другим причинам – с вероятностью 0,3. Априорные вероятности событий соответственно – 0,25; 0,15; 0,32; 0,28. Найти наиболее вероятную причину отказа предохранителя после того, как такое событие произошло. (3)

7. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в 9 находятся по 2 чёрных и по 2 белых шара, а в одной – 5 белых и 1 чёрный шар. Из урны, выбранной наугад, извлечён белый шар. Найти вероятность того, что шар извлечён из урны, содержащей 5 белых шаров. (5/32)

8. У рыбака есть 3 любимых места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюёт с вероятностью 0,1; на втором – 0,2; на третьем – 0,2. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, 3 раза закинул удочку и рыба клюнула только 1 раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

 

§ 7. Формула Бернулли

 

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях k раз выражается формулой Бернулли: , , причём Pn(0)+Pn(1)+Pn(2)+…+Pn(n)=1. Вероятность того, что при n независимых испытаниях событие А наступит хотя бы 1 раз, вычисляется по формуле Pn(k≥1)=1- qn. Вероятность того, что при n независимых испытаниях событие А наступит не менее m раз, вычисляется по формуле Pn(k≥m)= . Наивероятнейшее значение m числа появлений события в независимых испытаниях определяется из неравенства .

 

1. По мишени производится 7 выстрелов, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена тремя выстрелами. (0,972)

2. При каждом взвешивании возможно как положительная таки отрицательная ошибка. Найти вероятность того, что при пяти взвешиваниях получатся 3 положительные ошибки. (0,3125)

3. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при каждом броске равна 0,4. Что вероятнее ожидать: попадания трёх мячей при четырёх бросках или четырёх при шести. (1)

4. В Магазине 11 покупателей. Вероятность совершить покупку каждым их них равна 0,1. Найти вероятность того, что 7 из них совершат покупку. (22^.10^-6)

5. В урне 20 белых и 10 чёрных шаров. Вынули подряд 4 шара, причём каждый шар снова вернули в урну. Найти вероятность того, что из четырёх вынутых шаров 2 белых. (8/27)

6. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них не более трёх девочек. (13/16)

7. Вероятность солнечной погоды для каждого дня равна 0,4. Найти вероятность того, что в течении трёх дней хотя бы 1 день солнечный. (0,784)

8. Стрелок стреляет по мишени 4 раза. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что произойдёт не менее трёх попаданий. (0,4752)

9. Производится 8 выстрелов по резервуару с горючим. Первое попадание вызывает течь, второе – воспламенение. Найти вероятность того, что резервуар будет подожжён, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна 0,2. (0,497)

10. Вероятность поражения мишени лучником при одном выстреле из лука р=0,75. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах лучник поразит мишень 3 раза. (0,2637)

11. Событие А состоит в одновременном выпадении двух гербов при бросании трёх монет. Найти вероятность события А. (3/8)

12. Что вероятнее: выиграть у равного по силам противника (ничья исключена) 3 партии из 4 или 5 из 8?

13. В зрительном зале кинотеатра подачу воздуха обеспечивают 6 вентиляторов. Для каждого вентилятора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 вентилятора; б) включены все вентиляторы; в) выключены все вентиляторы. (0,246; 0,26; 0,000064)

14. Вероятность попадания в цель при выстреле из миномёта равна 0,3. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах будет не менее двух попаданий в цель. (0,472)

15. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее 2 раз; б) не менее двух раз. (7/64; 57/64)

16. Проведено 10 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании 3 игральных кубиков. Найти вероятность того, что в 4 испытаниях появятся в точности по две единицы. (0,0317)

17. Проводится тестирование студентов. В каждом билете по 5 вопросов. На каждый вопрос даны 3 возможных ответа, среди которых нужно выбрать один правильный. Найти вероятность того, что методом простого угадывания удастся ответить как минимум на 4 вопроса. (0,04527)

18. Две электрические лампочки включены в сеть последовательно. Найти вероятность того, что при повышении напряжения в сети выше номинального произойдёт разрыв цепи, если вероятность того, что лампочка перегорит, для обеих лампочек одинакова и равна 0,4. (0,64)

19. Сервисная компьютерная компания обслуживает 10 организаций, от каждой из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4, независимо от заявки других организаций. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок. (4; 0,251)

 

Задачи на повторение

1. Три стрелка одновременно делают по одному выстрелу по мишени. Какова вероятность того, что мишень будет поражена только одной пулей, если вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6?

2. В классе учатся 10 мальчиков и 8 девочек. По жребию выбирают 5 учеников этого класса. Какова вероятность того, что среди них окажутся не менее трех девочек?

3. Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 черных шара, двое поочередно извлекают по одному шару (без возвращения). Найти вероятность вынуть первым белый шар каждому из участников.

4. В урне находится два белых и четыре черных шара. Из урны извлекают два шара, цвет которых остается неизвестным, и откладывают их в сторону, после чего вынимают третий шар. Определить вероятность того, что этот шар белый.

5. При передаче информации по заданному каналу связи вероятность искажения каждого донесения равна 0,02. Всего передано 4 донесения. Найти вероятность того, что среди переданных донесений будет не более одного искажения. (0,995)

6. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны: 0,8; 0,7; 0,9. Вычислить вероятность двух попаданий при одном залпе из всех орудий.

7. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что среди трех наудачу выбранных билетов будет не менее двух выигрышных.

8. В сосуд, содержавший 5 шаров с белыми и (или) чёрными, опущен белый шар. Какова вероятность, действуя наудачу, вынуть белый шар из этого сосуда? Все предположения о первоначальном составе шаров считаются одинаково возможными.

9. Группа из 15 спортсменов стрелков включает 3 мастера спорта, 6 кандидатов в мастера и 6 перворазрядников. Вероятности поражения мишени для спортсменов равны соответственно 0,9; 0,8 и 0,7. Наудачу выбранный стрелок сделал выстрел и поразил мишень. Какова вероятность того, что этот стрелок является мастером спорта?

10. Автобусный маршрут обслуживается тремя автобусами. Вероятности возникновения неисправностей автобусов на маршруте в течении смены равны соответственно: 0,2; 0,1; 0,08. Определить вероятность того, что в течении смены неисправность возникнет только у одного автобуса.

11. Три баскетболиста производят по одному броску мяча. Вероятность попадания мяча в корзину для первого, второго и третьего баскетболиста равны соответственно 0,9; 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что удачными будут только два броска.

12. В двух урнах находятся шары, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

13. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в первой партии 2/3 деталей бракованные, во второй – 1/3, а в третьей – все детали доброкачественные?

14. В тире имеется 5 оружий, вероятность попадания из которых равна 0,5, три ружья с вероятностью попадания 0,7 и два ружья с вероятностью попадания 0,8. Сделан выстрел из наудачу взятого ружья, при этом зафиксировано попадание в цель. Определить вероятность того, что это ружье принадлежало первой группе.

15. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что она упадёт гербом вверх не больше трёх раз. (21/32)

16. В лотерее выпущено 100 билетов, из которых 20 – выигрышные. Куплено 5 билетов. Какова вероятность того, что среди купленных билетов не менее двух являются выигрышными?

17. Пять студентов группы изучают английский язык, шесть студентов – немецкий и семь студентов – французский. Случайным образом выбрано три студента. Какова вероятность того, что два из них изучают один и тот же иностранный язык?

18. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,3, для второго – 0,4, для третьего – 0,6. Для разрушения цели требуется хотя бы два попадания. Какова вероятность того, что при одном залпе из всех орудий цель будет разрушена?

19. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 3000.

20. Вероятность изготовления детали отличного качества равна 0,8. Какова вероятность того, что среди 10 деталей не менее 9 отличного качества?

 

Тема 3. Случайные величины

 

§ 8. Дискретные и непрерывные величины.

1. Даны вероятности значений случайной величины X: значение 10 имеет вероятность 0,3; 2 — 0,4; 8 — 0,1; 4 — 0,2. Построить ряд распределения случайной величины и полигон.

2. Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий.

§ 9. Функция распределения и плотность распределения вероятности

 

1. Случайная величина X задана функцией распределения

.

Найти вероятности попадания X в интервалы (1,5; 2,5), (2,5; 3,5).

2. Случайная величина X задана функцией распределения

.

Найти вероятности попадания X в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

3. Дан ряд распределения случайной величины X:

xi
pi	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

Найти функцию распределения вероятности это случайной величины. Построить график.

 

4. Случайная величина X подчинена закону распределения Требуется: 1) найти коэффициент a; 2) построить график плотности вероятности f(x); 3) найти вероятность попадания X в промежуток (1; 2).

Ответ: а =2/9; p=13/27.

 

5. В корзине 6 шаров, из которых 4 белых и 2 чёрных. Вынимают 3 шара. Случайной величиной является число белых шаров при вынимании. Для данной случайной величины 1) составить ряд распределения; 2) построить полигон; 3) найти функцию распределения и построить её график; 4) найти вероятность события 0,5<X<2,5.

 

§ 10, 11. Математическое ожидание и дисперсия

 

1. Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины X с рядом распределения

xi
pi	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

(M(X)=1,32; D(X)=0,897)

2. Показать, что функция может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X. Найти M(X), D(X). (D(X)»0,69)

3. Заданы две независимые случайные величины X, Y. Величина X – дискретная, её ряд распределения

xi	-2	-1
pi	0,2	0,3	0,05	0,02	0,45

Величина Y – непрерывная с плотностью

Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины Z=2X-3Y.

Ответ: -0,6; 12,69.

4. Найти D(X), если M(X)=1,5,

xi	-2	-1		1,5
pi	0,2	0,1	0,2	P4	P5

5. Производится 3 независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Случайной величиной X является число появлений события А в трёх опытах. Построить ряд распределения и функцию распределения для X. Найти мат. ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(X).

Ответ: 1,2; 0,72; 0,85.

6. Найти 1) коэффициент a; 2) интегральную функцию распределения F(x); 3) вероятность попадания X в промежуток (5,5; 9) 4) мат. ожидание M(X); 5) дисперсию D(X); 6) построить графики f(x) иF(x), если

Ответ: a =0,4; p=3/4; M=19/3; D=25/18.

 

§ 12. Мода и медиана

1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины

xi
pi	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

Найти моду.

2. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины

. Найти моду.

3. Найти медиану случайной величины, если известна плотность вероятности:

4. Найти коэффициент a; моду и медиану непрерывной случайной величины с плотностью вероятности

Ответ: (3/4; 3; 3)

 

§ 13. Законы распределения:

дискретные (биномиальное, Пуассона, геометрическое) и

непрерывные (равномерное, нормальное, показательное)

 

1. Бросают 3 монеты. Построить ряд распределения случайной величины X (число выпадений герба) и функцию распределения F(x).

2. С оптовой базы в магазин отправлено 5000 бутылок мин. воды. Вероятность того, что одна бутылка по пути разобьётся равна 0,0002. Найти вероятность, что разобьётся 3 бутылки. (1/6е» 0,06)

3. Случайная величина X распределена равномерно на [a, b]; M(X)=6; D(X)=3. Найти её плотность распределения.

4. Мат. ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х равны 10 и 2 соответственно. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервал (12; 14). (0,1359)

 

§ 14. Средние величины: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратичная, средняя кубическая.

 

Задачи

 

1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

xi	-2	-1		m	n+m
pi	0,2	0,1	0,2	P4	P5

M(X)=-0,5+0,5m+0,1n. Найти D(X).

2. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью

Найти: 1) коэффициент a; 2) интегральную функцию распределения F(x); 3) мат. ожидание M(X) и дисперсию D(X); 4) вероятность попадания в промежуток ; 5) построить графики функций F(x) и f(x), 6) медиану m.

 

Литература

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. М.: Айрис-пресс, 2006. 288 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. изд. 7 стер. М.: Высш. шк., 2001. 479 с.

3. Гланц С. Медико-биологическая статистика. М.: Практика, 1998. 459 с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1979 400 с.

5. Ивченко Г.И., Медведев Ю.А. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1994. 248 с.

6. Ивченко Г.И., Медведев Ю.А., Чистяков А.В. Сборник задач по математической статистике. М.: Высшая школа, 1989. 255 с.

7. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике: учебное пособие. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2001. 120 с.

8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа, 2002.

9. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 2004.

10. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 2003.

11. Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовникова