Определение функции полезности по фон Нейману

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РИСКА И ПОЛЕЗНОСТИ

Любой процесс, направленный на получение пользы (выгоды), условно называют лотереей. Под лотереей L(x,p,y) понимают ситуацию, в которой у принимается с вероятностью р и х с вероятностью (1-р). Лотерею L(x;0,5;y) обозначают через <х,у> и говорят: лотерея 50-50.

Под сложенной лотереей L(xi,x2,...,xn;pi,p2,...,pn) понимают ситуацию, в которой лицо, принимающее решение, может получить xi,x2,...,xn с вероятностями pi,p2,...,pn, соответственно.

 

Принято обозначать:

х>-у - х предпочтительнее у;

х -< у - у предпочтительнее х;

х ~ у - безразлично х или у. Предпочтительность определяется индивидуально.

 

Пусть х1-<х2-<Хз-<-хп_1-<хп упорядоченное по предпочтению множество исходов. Полезностью варианты Xi называется вероятность ц такая, что лицу, принимающему решение, безразлично получить Xj наверняка или участвовать в лотерее L(xbUi,xn). Значение ц есть значение некоторой функции, определенной на упорядоченном по предпочтению множестве.

 

Функцией полезности и(х) по Нейману, определенной на упорядоченном по предпочтению множестве Х= [х*,х ] называют вероятность и(х)=р(х) такую, что принимающему решение безразлично получить х наверняка или участвовать в лотерее Цх*,р(х),х*).

 

Полезность определяется индивидуально. Определение полезности не математическая проблема. Определение полезности - это искусство.

 

Пример 1. Предлагается два места работы: в первом вам обещают гарантированно 200 грн., а во втором или 100, или 500. При какой вероятности получения 500 грн. вам будет безразличен выбор места работы?

 

Решение. Определяем свою предпочтительность:

200 -< Ц100;1;500),

 

200 >- Ц100;0;500),

 

200 -< Ц100;0,5;500),

 

200 >- Ц100;0,3;500),

 

200 >- Ц100;0,4;500),

 

200 -< Ц100;0,45;500),

 

200 >- Ц100;0,43;500),

 

200 ~ Ц100;0,44;500).

 

 

Следовательно, u(200) ~ 0,44.

 

Если действия лица, принимающего решение, непротиворечивы, то значения функции полезности по Нейману на упорядоченном по предпочтению множестве

х: -< х2 -< х3 —< хп-1 -< хп будут находится в соотношениях:

 

0 = u(xi) < u(x2) < u(x3) < < u(xn.i) < u(xn) = 1.

 

Так определяемая функция полезности будет иметь значения, заключенные между нулем и единицей, то есть

 

0<и(х)<1.

 

В действительности рассматривают функции полезности с произвольной областью изменения.

 

Для этого значению х* приписывают произвольное значение и(х*) а значению х* произвольное значение и(х*).

 

Тогда полезностью по Нейману произвольного значения х((хе [х*,х*]) определяется равенством

 

u (х) = ри (х) + (1 - р)и (х *), (р определено выше).

 

Можно считать функцией полезности и любую функцию

 

v(x)=a+bu(x), где Ь>0.

 

Можно дать и общее определение функции полезности.

 

Функцией полезности называется действительная функция и(х), опре-деленная на упорядоченном по предпочтительности множестве Х= Х= [х*,х ], если она монотонна, то есть, если для всех х, у е X из х -< у следует

 

u(x)<u(y).

 

В общем, функция полезности строится аналогично функции полезности по Нейману с помощью экспертных процедур. Вариантам х* и х присваиваются произвольные числа А и В (А< В), а промежуточным вариантам ставятся в соответствие некоторые промежуточные числа с помощью экспертных процедур.

 

Ожидаемой полезностью сложенной лотереи называется математическое ожидание функции полезности

 

Mu(x)= X PiU(Xj) или Mu(x)= f u(x)f(x)dx,

 

(f(x) - плотность распределения выигрышей, х - случайный выигрыш в лотерее).

 

Имеет место принцип фон Неймана - Моргенштерна. Если функция полезности конструируется по способу, определенному фон Нейманом-Моргенштерном и люди ведут себя последовательно (по аксиомам), то данное лицо будет поступать таким образом, чтобы максимизировать ожидаемое значение полезности.

 

Принимающий решение не склонен к риску, если он предпочитает получить навернякаожидаемый выигрыш в любой невырожденной лотерее, вместо участия в этой лотерее.

 

Он склонен к риску, если предпочитает участие в любой невырожденной лотерее получению наверняка ожидаемого выигрыша в этой лотерее и безразличен к риску, если ему безразлично получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой невырожденной лотерее или участвовать в этой лотерее. С помощью формул это записывается в виде:

иМ(х) > Ми(х) - не склонен к риску; иМ(х) < Ми(х) - склонен к риску; иМ(х) = Ми(х) - нейтрален к риску.

 

Лотерея называется невырожденной, если она не содержит выигрыша с вероятностью, равной единице.

 

Принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута (и"(х) < 0 или график имеет вид п). Принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности выпукла (u"(x)>0 или график имеет вид и). Принимающий решение безразличен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности линейна то есть ее график - прямая.

 

Графически это можно изобразить следующим образом.

 

 

Рис.1.

 

Принимающий решение в данном случае склонен к риску

 

Пример 2. Бизнесмен заработал 100 тыс. грн. Он имеет возможность вложить в сберегательный банк под 5% годовых с получением 5 тыс. грн. прибыли или вложить в акции, по которым ожидается получить 210 тыс. грн. или все потерять с вероятностью 0,5. Ожидаемая стоимость вложений в банк равна 100 000+5 000 =105 тыс. грн. Ожидаемая стоимость вложений в акции также равна 0,5-210 000+0,5- 0 = 105тыс. грн. То есть, предприниматель имеет выбор между гарантированной не рискованной в 5 тыс. грн. прибылью и рискованной ожидаемой то же в 5 тыс. грн. Какой вариант выбирать. Если предприниматель выбирает первый вариант, то он не склонен к риску, если второй, то склонен. Значительное большинство предпринимателей не склонны к риску. При малых суммах склонность к риску увеличивается. С ростом богатства склонность к риску уменьшается.

 

Функцией несклонности к риску называется функция г(х)=и'(х)

 

Она дает наиболее полную характеристику отношения к риску принимающим решения. Имеют место следующие утверждения:

 

г>0, г >0

r>0, г'<0

г>0, r'=0 (r = const>0)

КО, г'>0

КО, г'<0 КО, r,= 0(r = const<0)

г = 0

 

возрастающая несклонность к риску; убывающая несклонность к риску; постоянная несклонность к риску; убывающая склонность к риску; возрастающая склонность к риску; постоянная склонность к риску; нейтральное отношение к риску.

 

Пример 3. Предприятие, по своему усмотрению, свое отношение к риску выражает функцией полезности и(х) = 6,4(2х-1). Определить с помощью функции несклонности к риску отношение к риску предприятия с ростом базисной суммы х.

 

Решение.

 

Если х<—, то г(х) > 0, Г >0 и, следовательно, имеет место возрастающая несклонность к риску.

 

Если х>—, то г(х)< 0, Г >0 и, следовательно, имеет место убывающая склонность к риску.

 

Это подтверждает и график функции полезности

 

Две функции полезности Ui(x) и иг(х) стратегически эквивалентны, если они одинаково по предпочтению упорядочивают любые две лотереи. Это записывается в виде: иг(х) ~ Ui(x).

 

Две функции полезности Ui(x) и иг(х) стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда иг(х) = a+bui(x) (а и b - произвольные числа, но Ь>0). Две функции полезности стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда ri(x) = г2(х).