Перемещения от действия температуры

Формулу Мора (1) можно записать в виде:

, (3)

где: - взаимный угол поворота торцевых сечений элемента длиной dz при изгибе от заданной нагрузки;

- взаимный угол закручивания торцевых сечений элемента длиной dz от заданного крутящего момента;

- взаимное смещение торцевых сечений элемента длиной dz от действия заданной осевой силы.

 

В таком виде формула Мора может быть использована не только когда деформации элемента dz вызваны силовым воздействием на систему, но и в случае, если они вызваны действием температуры. Значит, формула Мора в виде () может быть использована для определения перемещений системы, вызванных действием температуры.

Рассмотрим элемент стержня длиной dz, у которого верхние волокна нагреты на , а нижние – на (рис). Распределение температуры по высоте сечения примем линейным.

Тогда: – удлинение верхнего волокна элемента

– удлинение нижнего волокна элемента

– удлинение на оси z:

– угол взаимного поворота торцевых сечений элемента dz:

Деформаций кручения и сдвига не будет.

Подставив полученные выражения в (3), получим формулу для отыскания температурных перемещений:

(4)

Знак означает суммирование по всем стержням и участкам упругой системы. Если по длине стержня величины t ₁, t ₂, и h не меняются, то формула (4) принимает вид

(5)

Здесь и - площади единичных эпюр и . Если сечение несимметрично относительно оси z, то в формулы вместо войдет выражение , где y - расстояние от нижнего волокна до центра тяжести сечения.

Знаки членов формулы (5) определяются так: если деформации элемента dz от температуры и от единичной силы аналогичны друг другу, то знак соответствующего члена будет положительным, и наоборот.

При определении перемещений от действия температуры нельзя пренебрегать членом формулы (5), зависящим от продольной силы.

Пример:

Дано:

Г – образная рама нагревается изнутри на . Снаружи температура не изменяется. Сечение постоянное, высота его равна h. Величина a - известна.

Требуется:

найти вертикальное перемещение .

 

Решение:

Изображаем раму в двух состояниях:

 

 

Подсчитаем перемещение по формуле (5):

 

 

.

 

Знак “минус” означает, что перемещение происходит в направлении, противоположном направлению единичной нагрузки.