Перечень вопросов для самоконтроля студентов

1. Понятие множества, элемента множества.

2. Пустое множество, подмножество.

3. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, декартовое произведение.

4. Конечные и бесконечные множества. Равномощные множества. Счетные множества.

5. Структура множества действительных чисел: натуральный ряд, целые, рациональные, иррациональные числа.

6. Подмножества множества действительных чисел: отрезок, интервал, полуинтервал, окрестность.

7. Понятие наибольшего (наименьшего) элемента числового множества, грани множеств, точные грани множеств.

8. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани.

9. Понятие числовой последовательности. Основные способы задания последовательностей.

10. Предел числовой последовательности, конечный и бесконечный, сходящаяся последовательность, предел справа (слева).

11. Свойства сходящихся последовательностей.

12. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Основные свойства бесконечно малых.

13. Понятие монотонной последовательности. Существование предела ограниченной монотонной последовательности.

14. Число «е». Экономический смысл числа «е» и экспоненты.

15. Лемма Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности.

16. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.

17. Понятие функции.

18. Способы задания функции: аналитический, логический, графический, табличный.

19. Задача интерполяции.

20. Неявно заданная функция.

21. Функции заданные параметрически.

22. Общие свойства функций: область определения, множество значений, четность, периодичность, нули функции, ограниченность, монотонность, наибольшее, наименьшее значение функции на множестве.

23. Операции над функциями.

24. Сложная функция.

25. Понятие обратной функции.

26. Основные свойства взаимно-обратных функций.

27. Простейшие элементарные функции (графики, основные свойства).

28. Элементарные функции: целые рациональные (линейная, квадратичная функции), дробно-рациональные (дробно-линейная функция), иррациональные, трансцендентные.

29. Функции в экономическом анализе.

30. Предел функции. Определение предела функции в терминах e – d, в терминах последовательностей.

31. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших.

32. Существование предела монотонной функции.

33. Критерий Коши существования предела функции.

34. Вычисление пределов: пределы основных элементарных функций, предел многочлена, рациональной дроби. Типы неопределенностей.

35. Первый замечательный предел, его следствия.

36. Второй замечательный предел, его следствия.

37. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших в окрестности заданной точки.

38. Различные определения непрерывности функций в точке.

39. Точки разрыва, их классификация.

40. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций; теорема о непрерывности сложной функции.

41. Равномерная непрерывность функции. Связь с понятием непрерывности. Теорема Кантора.

42. Определение производной функции в точке, понятие правой и левой производной.

43. Вычисление производной по определению.

44. Понятие дифференцируемости функции в точке, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости.

45. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.

46. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Физический смысл производной.

47. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

48. Производная обратной функции.

49. Производная и дифференциал сложной функции, инвариантность формы первого дифференциала.

50. Производные основных элементарных функций.

51. Таблица производных.

52. Производные и дифференциалы высших порядков.

53. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).

54. Теорема Ролля (о нуле производной).

55. Теорема Лагранжа, формула конечных приращений. Условие постоянства функции.

56. Теорема Коши, обобщенная формула конечных приращений.

57. Правило Лопиталя, (случай 0/0, случай ¥/¥). Раскрытие неопределенностей.

58. Формула Тейлора.

59. Различные формы остаточного члена формулы Тейлора (Лагранжа, Пеано).

60. Формула Маклорена.

61. Общая схема исследования функции на монотонность.

62. Необходимое условие экстремума. Стационарные точки. Экстремум функции, не дифференцируемой на интервале, критические точки.

63. Достаточные условия экстремума по первой производной, по старшим производным. Общая схема решения задачи на экстремум функции.

64. Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке.

65. Направление выпуклости графика функции. Признак направления выпуклости. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия перегиба.

66. Асимптоты графика функции.

67. Общая схема исследования функции и построения графиков.

68. Понятие n-мерного евклидового пространства (Rn)­. Окрестности точек в Rn.

69. Последовательности точек в n-мерном пространстве. Сходящиеся последовательности. Теорема о сходимости последовательностей координат для сходящейся последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности в Rn, теорема Больцано–Вейерштрасса.

70. Множества в n-мерном евклидовом пространстве.

71. Внутренние и граничные точки, предельные точки и точки прикосновения. Открытые, замкнутые множества в Rn.

72. Понятие функции нескольких переменных. График функции. Множества уровня.

73. Предел функции n переменных.

74. Непрерывность функции. Предел по множеству. Повторные пределы. Свойства пределов функции.

75. Свойства непрерывных функций на множествах: аналоги теорем Вейерштрасса и Больцано–Коши. Равномерная непрерывность. Терема Кантора.

76. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных.

77. Дифференциал.

78. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.

79. Дифференцирование сложной функции, инвариантность формы дифференциала.

80. Производная по направлению. Градиент, его свойства.

81. Частные производные и дифференциалы высших порядков, теорема о равенстве смешанных производных.

82. Формула Тейлора (Маклорена) для функций многих переменных.

83. Понятие локального экстремума функции нескольких переменных.

84. Необходимые и достаточные условия. Случай двух переменных.

85. Метод наименьших квадратов.

86. Неявно заданные функции и отображения. Теоремы о разрешимости. Вычисление производных неявно заданных функций.

87. Уравнения нормали и касательной плоскости к графику функции.

88. Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума.

89. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

90. Необходимые и достаточные условия относительного экстремума.

91. Задача о нахождении наименьшего и наибольшего значения функции в области.

92. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

93. Основные свойства неопределенного интеграла.

94. Таблицы интегралов.

95. Приемы интегрирования: замена переменной, формула интегрирования по частям.

96. Понятие об интегрировании рациональных дробей, простейших иррациональных функций, простейших трансцендентных функций..

97. Интегральная сумма Римана, геометрический смысл интегральной суммы. Понятие интегрируемой функции. Определения интеграла.

98. Ограниченность интегрируемых функций. Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства. Нижний и верхний интегралы.

99. Свойства интегрируемых функций и определенного интеграла. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу.

100.Теорема о существовании первообразной.

101.Основная формула интегрального исчисления.

102.Формула замены переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям.

103.Приложения определенного интеграла.

104.Приближенное вычисление определенных интегралов: формула прямоугольников, трапеций, Симпсона.

105.Понятие о несобственных интегралах. Определения. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов.

106. Признаки сходимости: признаки сравнения, критерий Коши, признаки Дирихле и Абеля. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.

107.Понятие двойного, тройного, кратного интеграла.

108.Геометрический смысл и свойства кратных интегралов.

109.Сведение кратного интеграла к повторному.

110.Замена переменной в двойном, тройном интегралах.

111.Определение числового ряда. Частичные суммы ряда.

112.Понятие сходящегося числового ряда.

113.Свойства сходящихся рядов: необходимое условие сходимости ряда, линейная комбинация сходящихся рядов, свойства остатка ряда. Критерий Коши сходимости ряда.

114.Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов: интегральный признак Коши, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши.

115.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

116.Знакопеременные ряды. Абсолютная, условная сходимость. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Признак Лейбница как признак условной сходимости.

117.Понятие функционального ряда. Сходящийся, абсолютно сходящийся ряд. Понятие области сходимости.

118.Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Абсолютная сходимость степенного ряда внутри интервала сходимости.

119.Свойства степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

120.Разложение функций в степенные ряды, ряд Тейлора и Маклорена.