Соотношения, связанные с циклом Карно

Для обратимого цикла Карно имеем

Откуда

или

Учитывая, что теплота q₁ положительна, а теплота q₂ отрицательна, запишем

или

(5.6)

Отношение называется приведенной теплотой.

Из уравнения (5.6) следует, что в обратимом цикле Карно алгебраическая сумма приведенных теплот равна нулю.

Нетрудно показать, что равенство (5.6) справедливо не только для цикла Карно, но и для любого обратимого цикла. С этой целью рассмотрим в pv-диаграмме произвольный обратимый цикл (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Представление произвольного обратимого кругового процесса в виде суммы бесконечно малых циклов Карно

Проведем большое количество близко расположен­ных адиабат, которые разобьют произвольный цикл на бесконечно большое количество элементарных циклов efgh, fmng и т. д. Каждый такой элементарный цикл состоит из двух адиабат и двух элементарных отрезков контура данного цикла. Ввиду бесконечно малой длины этих отрезков изменения температуры по ним так же бесконечно малы. Следовательно, в пределе эти отрезки можно считать изотермами, а циклы — элементарными циклами Карно. Совокупное действие элементарных циклов одинаково с действием кругового цикла ABCD.

Работа расширения по адиабате fg цикла efgh равна работе сжатия по адиабате gf цикла fmng. Таким образом, адиабатные процессы, в конечном счете, не влияют на величину работы, теплота же во время этих процессов не подводится и не отводится. Суммарное дей­ствие элементарных циклов сводится к совокупному действию элементарных процессов ef, fm, ng, gh и т. д., то есть одинаково с действием кругового процесса по контуру ABCD.

Для каждого элементарного цикла Карно справедливо соотношение (5.6). Суммируя эти соотношения для всех элементарных циклов, для рассматриваемого произвольного цикла получим

(5.7)

где k – количество элементарных циклов.

В пределе для бесконечно большого числа этих элементарных циклов, то есть для цикла ABCD получим

С учетом (5.7) имеем

(5.8)

Известно, если интеграл по замкну­тому контуру равен нулю, то подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции состояния. В термодинамике отношение dq/T принято считать полным дифференциалом функции состояния s, называемой энтропией, то есть

или

(5.9)

Уравнение (5.8), полученное Клаузиусом в 1834 г., представляет собой математическое выражение второго закона термодинамики для обратимого цикла и называется первым интегралом Клаузиуса.

Термический к. п. д. необратимого цикла меньше, чем термический к. п. д. цикла Карно из-за потерь части подведенного к рабочему телу тепла в окружающую среду. Таким образом

и

Отсюда

или

(5.10)

Учитывая, что теплота q₂ — величина отрицательная, неравенство (5.10) можно представить в виде

или

(5.11)

Неравенство (5.11) показывает, что алгебраическая сумма приведенных теплот для необратимого цикла Карно меньше нуля, то есть является величиной отрицательной.

Для произвольного необратимого цикла, составленного из бесконечно большого количества необратимых элементарных циклов, имеем

(5.12)

Неравенство (5.12) представляет собой математическое выражение второго закона термодинамики для произвольного необратимого цикла и называется вторым интегралом Клаузиуса.