Элементы релятивистской механики

1. Принцип относительности и преобразования Галилея.

2. Постулаты специальной теории относительности.

3. Преобразования Лоренца и следствия из них.

4. Основной закон релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.

1. Принцип относительности и преобразования Галилея.

Галилей установил, что законы механики во всех ИСО имеют одинаковую форму. Для доказательства этого рассмотрим две ИСО: условно неподвижную xyz и движущуюся равномерно прямолинейно со скоростью относительно оси ОX первой системы x¢y¢z¢.

В системе К ¢ точка М движется со скоростью относительно К¢. Положение точки М в К определяют координаты (x,y,z), в К¢ - (x¢,y¢,z¢).

Если отсчет времени начать с того момента, когда начала координат О и О¢ совпадают, то преобразования, описывающие переход от одной ИСО к другой, следующие:

- преобразования Галилея

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения СО, поэтому к преобразованиям координат добавлено соотношение t=t¢.

Записанные соотношения справедливы только при .

Продифференцируем их по времени

или ,

или ,

или .

Полученные три скалярные соотношения эквивалентны следующему векторному соотношению:

,

где - скорость точки М относительно СО xyz. Это соотношение представляет собой правило сложения скоростей в классической механике. Продифференцируем его по времени:

Т.к. в классической механике масса не зависит от скорости,

Т.о. очевидно, что и второй закон Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Подобный анализ можно провести и для других законов механики и получить такой же результат.

Т.о. уравнения (или законы) механики не изменяются (инвариантны) при переходе от одной ИСО к другой.

Принцип относительности Галилея: все механические явления протекают во всех ИСО одинаково.

Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной ИСО, невозможно установить покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.

 

1. Постулаты специальной теории относительности.

В классической механике предполагалась очевидной независимость времени от системы отсчета. Отражением этого является 4-е уравнение в преобразованиях Галилея. Оно отражает идею о том, что существует единое, абсолютное время, не связанное с абсолютным пространством. Ньютон считал, что существует абсолютное пространство и абсолютное время. Абсолютное пространство определялось им как безотносительное к чему-либо внешнему вместилище вещей, остающееся всегда одинаковым и неподвижным. О времени Ньютон писал: «Абсолютное, истинное или математическое время само по себе и в силу своей внутренней природы, течет равномерно, безотносительно к чему-либо внешнему».

В действительности же пространство и время неотделимы от движущейся материи и друг от друга. А.Эйнштейном были пересмотрены ньютоновские представления о пространстве и времени и заложены основы специальной теории относительности. Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространственно-временных отношений движущейся материи, в которой предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно.

Однородность времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от начала отсчета времени.

Однородность пространства проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора положения начала координат ИСО.

Изотропность - одинаковые свойства по различным направлениям.

Специальная теория относительности часто называется релятивистской теорией, а специфические явления, ею описываемые - релятивистскими эффектами (они проявляются при ).

СТО стала основой новых отраслей науки и техники: физики элементарных частиц, ускорительной техники, ядерной энергетики.

Основой СТО являются два постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.

I. Принцип относительности. (Эйнштейн распространил принцип относительности Галилея на все физические явления):

Все физические явления во всех ИСО протекают одинаково;

или: все физические законы инвариантны относительно всех ИСО.

II. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя, одинакова во всех ИСО и является предельной.

Опыты показывают, что скорость любых частиц и тел, а также скорость распространения любых взаимодействий и сигналов не может превосходить «с». Т.о. скорость света в вакууме является максимально возможной в природе скоростью передачи сигналов, одинаковой по всем направлениям во всех ИСО. Согласно II постулату, постоянство скорости света - фундаментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.

СТО установила новые пространственно-временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий. Это и другие следствия из СТО находят надежное экспериментальное подтверждение.

 

1. Преобразования Лоренца и следствия из них.

В 19 веке Максвелл подытожил многочисленные исследования явлений электричества, магнетизма и света в своих уравнениях, сводят воедино все эти явления. Однако уравнения Максвелла не были инвариантны относительно преобразований Галилея, их вид изменялся в движущейся СО относительно неподвижной СО (т.е. в движущемся космическом корабле электромагнитные и световые явления не такие, как в неподвижном). Уравнения Максвелла пытались видоизменять и подгонять к тому, чтобы они не отличались от преобразований Галилея. Однако после многочисленных неудачных попыток стало ясно, что уравнения Максвелла правильны, а загвоздка в чем-то другом.

Между тем, Лоренц заметил, что когда он делал в уравнениях Максвелла подстановку:

(1)

то форма уравнений Максвелла после такой подстановки не изменилась. Эти формулы (1) теперь называют преобразованиями Лоренца. Они имеют простейший вид (1) в том случае, когда сходственные оси декартовых координат неподвижной (К) и движущейся (К¢) ИСО попарно параллельны, причем К¢ движется относительно К с постоянной скоростью вдоль ОX, а в качестве начала отсчета времени выбран тот момент, когда начала координат О и О¢ обеих систем совпадают.

При преобразования (1) переходят в преобразования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые являются частным случаем преобразований (1). Следовательно, классическая механика представляет собой частный случай более общей теории - релятивистской механики.

Релятивистской механикой называется механика движений с релятивистскими скоростями, основанная на преобразованиях (1) и постулатах Эйнштейна. (relativus - относительный, лат.).

Эйнштейн предположил, что все физические законы не должны меняться от преобразований Лоренца, т.е. уравнения, выражающие законы, должны сохранять свою форму при переходе от одной ИСО к другой, осуществляемом в соответствии с преобразованиями (1).

Как видно из (1), при переходе от К к К¢ изменяются не только пространственные координаты, но и соответствующие им моменты времени. Однако, между пространственными координатами x¢,y¢,z¢ события и временем t¢ его совершения в произвольной ИСО существует взаимосвязь, так что величина

не зависит от скорости системы К¢, т.е. одинакова во всех ИСО.

Т.о. теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство.

 

1. Основной закон релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.

Релятивистский закон сложения скоростей.

Найдем закон сложения скоростей в СТО.

Пусть материальная точка М движется равномерно прямолинейно со скоростью вдоль оси O¢X¢ системы К¢, которая движется вдоль OX системы К со скоростью . Найдем скорость точки М относительно системы К (рис.1).

С помощью преобразований (1) выразим dx и dt:

- релятивистский закон сложения скоростей,

где

При

При

Экспериментальное доказательство независимости «с» от скорости движения источника было получено при измерении скорости излучения g-квантов высоких энергий, возникающих при распаде нейтральных пионов, происходящем при скорости их движения »0, 99975 с.

Одновременность событий в разных ИСО.

Пусть в системе К в точках с координатами x₁ и x₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходят два события. В системе К¢ им соответствуют x¢₁ и x¢₂ и моменты времени t¢₁ и t¢_2.

1. Если события в системе К происходят в одной точке (x₁=x₂=x) и являются одновременными (t₁=t₂=t), то согласно преобразованиям Лоренца

,

т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими в любой ИСО.

2. Если события в системе К пространственно разобщены (x₁¹x₂), но одновременны (t₁=t₂=t), то в системе К¢

,

они также пространственно разобщены и оказываются неодновременными.

Знак разности определяется знаком выражения , поэтому в различных точках системы К¢ может быть разным. Следовательно, в одних СО первое событие может предшествовать второму, а в других СО - наоборот. Сказанное выше относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинно-следственная связь. Причинно связанные события ни в одной из СО не будут одновременными и во всех ИСО причина будет предшествовать следствию.

Рассмотрим пример. Пусть в момент начала отсчета времени, когда О и О¢ совпадают, в точке производится мгновенная вспышка света. К моменту t свет в К достигнет точек сферы радиусом ct (рис. 2). В системе К¢ к моменту t¢=t свет достигнет точек сферы того же радиуса ct, но с центром в точке О¢, находящейся в это время на расстоянии от точки О.

Достижение светом вспышки точек А и В - события, одновременные в системе К. В системе К¢ это события не одновременны. В точку А, удаляющуюся от источника световой вспышки - точки О¢- свет попадет позже, чем в точку В, приближающуюся к О¢.

 

Длительность событий в разных СО.

Пусть в К¢ два события происходят в одной и той же точке , неподвижной относительно К¢ в моменты времени и , так что промежуток времени между этими событиями .

В системе К:

т.о. промежуток времени между двумя событиями (длительность события) минимален в той ИСО, относительно которой оба события совершаются в одной и той же точке.

Время, измеряемое по часам, движущимся вместе с данным объектом (т.е. для которых х¢₁=х¢₂), называется собственным временем этого объекта. Собственное время - минимальное (самое короткое).

Т.о. течение времени и все процессы в системе К¢ замедляются с точки зрения неподвижного наблюдателя в системе К - релятивистский эффект замедления хода времени (парадокс близнецов)- кажущийся парадокс, т.к. Земля - ИСО, а космолет движется с ускорением, т.е. не является ИСО и к нему неприменима СТО. Релятивистский эффект замедления времени является совершенно реальным и экспериментально подтверждается при изучении нестабильных элементарных частиц. Пример - попадание на Землю m-мезонов, собственное время жизни которых t₀»2×10^-6с. Они возникают в верхних слоях атмосферы с космическими лучами на высоте»20-30 км и не должны были бы достигать поверхности Земли ( =3×10⁸×2×10^-6=600 м), . С точки зрения земного наблюдателя - его время жизни значительно больше, так что он успевает достичь поверхности Земли и быть зарегистрирован земными приборами.

Длина тел в разных СО.

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль О¢Х¢ и покоящийся относительно К¢ (рис. 3). Его длина в К¢₁ , где - не изменяющиеся во времени координаты его концов.

Относительно К он движется со скоростью . Для определения его длины в К нужно отметить координаты его концов в один и тот же момент времени t₁=t₂=t и найти их разность: .

Согласно преобразований Лоренца,

Т.о. длина стержня , измеренная в СО, относительно которой он движется, оказывается меньше длины ₀, измеренной в системе, относительно которой он покоится.

В направлении осей OY и OZ его размеры одинаковы во всех ИСО.

Т.о. у движущихся тел их размеры в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения (релятивистское сокращение длины).

 

Эйнштейн обнаружил, что классические законы сохранения энергии и импульса несовместны с преобразованиями Лоренца. Ом предположил, что если ввести новое определение импульса как

,

то законы сохранения будут выполняться. Были проведены многочисленные точные проверки и новые законы сохранения импульса и энергии в формулировке Эйнштейна оказались справедливы.

Можно доказать, что кинетическая энергия релятивистской частицы выражается формулой , т.е. представляет собой разность , где - полная энергия свободной частицы, т.е. частицы, на которую не действуют силы, - энергия покоя.

В полную энергию Е и энергию покоя Е₀ не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле; величина Е в разных системах отсчета различна. Значения m и Е₀ не зависят от выбора ИСО.

При скоростях выражение для Е_к переходит в формулу . Докажем это.

В соответствии с формулой бинома Ньютона при

тогда

Закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Основной закон релятивистской динамики

- скорость изменения релятивистского импульса материальной точки равна силе, действует на эту точку.

 

 

Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом:

или , .

,

Важнейшим результатом СТО является универсальное соотношение между энергией тела и его массой

.

Это уравнение выражает фундаментальный закон природы - закон взаимосвязи массы и энергии: полная энергия тела (или системы) равна произведению релятивистской массы этого тела (системы) на квадрат скорости света в вакууме.

Всякое изменение полной энергии тела DЕ сопровождается изменением релятивистской массы и наоборот:

.

Это утверждение также называют законом взаимосвязи массы и энергии.

Этот закон подтвержден экспериментами о выделении энергии при ядерных реакциях.

Энергия покоя может перейти в любой другой вид энергии и является в этом смысле «резервуаром» энергии.

Пример: при аннигиляции частицы и античастицы вся энергия покоя частиц переходит в энергию гамма-квантов – энергию электромагнитного поля.

Энергия покоя, соответствующая массе m₀=1 г любого вещества, выражается огромной цифрой E=m₀c²= 1×10^-3×9×10¹⁶=9×10¹³ Дж.

Мы не замечаем наличие у тел столь большой энергии покоя потому, что практически для всех процессов, за исключением ядерных, она остается величиной постоянной.

Релятивистская формула выражает связь между массой и энергией.

Выражение (2) представляет собой, по сути, закон сохранения массы и энергии:

. (2)

В теории относительности заключена фундаментальная связь пространства и времени друг с другом и движущимся телом. В преобразованиях Лоренца пространство и время входят равноправным образом, они зависят друг от друга и от скорости движения тела. По современным научным представлениям пространство и время объединяются в единый пространственно-временной континуум.