ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ

НА ХАРАКТЕРНЫХ АРХИТЕКТУРНЫХ ФОРМАХ

Методические указания и контрольные задания

для студентов, обучающихся по направлению подготовки 6.060102 "Архитектура"

Киев 2009

УДК 514.18

ББК 22.151.3

П63

Составители: А.В. Кащенко, канд. техн. наук, профессор,

С.Н. Ковалёв, доктор техн. наук, профессор,

М.Ф. Евстифеев, канд. техн. наук, профессор,

Н.П. Цой, канд. техн. наук, доцент,

В.В. Хмара, старш. преподаватель

Рецензент С.И. Ботвиновская, канд. техн. наук, доцент

Ответственный за выпуск С.М. Ковалев, доктор техн. наук, профессор

Утверждено на заседании кафедры начертательной геометрии и инженерной графики, протокол №7 от 26 января 2009 г.

Построение теней на характерных архитектурных формах:

П63 методические указания и контрольные задания / состав.: А.В. Кащенко, С.Н. Ковалёв, М.Ф. Евстифеев и др. – К.: КНУСА, 2009. – 48 с.

Рассмотрены способы и методы построения собственных и падающих теней на характерных архитектурных формах в системе прямоугольных проекций.

Предназначено для студентов-иностранцев архитектурных специальностей для практического использования при выполнении индивидуальных заданий по начертательной геометрии, а также курсовых проектов по архитектурному проектированию.

© КНУСА, 2009

ОбщИе положениЯ

Курс «Тени в ортогональных проекциях» как один из разделов начертательной геометрии занимает важное место при подготовке студентов архитектурных специальностей и предназначен для практического использования при решении задач архитектурного проектирования и инженерного конструирования.

Методы и способы построения собственных и падающих теней на характерных архитектурных формах в системе прямоугольных проекций позволяют в совокупности составить определенное и ясное представление об изучаемом объекте в целом. Целью изучения дисциплины является развитие пространственного мышления будущего архитектора, которое базируется на теоретических основах геометрического моделирования, основах алгоритмизации и рационального подхода к решению геометрических задач.

Тема: ТЕНИ В СИСТЕМЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ

Общие положения построения теней

Тени, построенные на архитектурном объекте, являются по существу дополнительной проекцией объекта и его частей и поэтому позволяют получить представление о форме здания или сооружения по одной проекции, о рельефе фасада, что трудно сделать на изображении без теней, так как одна проекция не позволяет определить форму изображае-мого объекта.

На практике тени строятся при параллельных друг другу лучах света – такими лучами принято считать солнечные, и при лучах света от искусственного источника света, например, электрической лам-почки.

На рис. 1 схематично показано, как образуется падающая тень на плоскости П от пространственного тела Ф, которое освещается совокупностью лучей, что распространяются от точечного источника, и лучей заданного направления. При этом образуются тени собственные и падающие. Собственная тень (СТ) образуется на неосвет-ленной части поверхности – её контур П определяет контур падающей тени (ПТ).

Условно при изображении теней интенсивность падающей тени принимают приблизи-тельно вдвое сильнее, нежели собственной.

При построении теней в прямоугольных проекциях приняты такие основные обозначения: S (S1,S2,S3) – световые лучи на соответствующие плоскости проекций; Ат¹, Ат², Ат³ - тени от точки на соответствующие плоскости проекций.

В прямоугольных проекциях направление световых лучей принимают параллельным диагонали параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям. В отдельных случаях параллелепипед заменяют кубом. При этом проекции диагонали на грани куба определяют направление проекции световых лучей, на соответствующие плоскости проекций. При этом проекции световых лучей на плоскости проекции образуют с осями проекций угол 45° (рис. 2 и 3). Действительный угол наклона этих лучей к плоскостям проекций составляет ≈35°. Такое положение световых лучей относительно плоскостей проекций называют стандартным.

ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЕЙ

И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

СПОСОБ СЛЕДА ЛУЧА

Тенью точки есть точка пересечения луча, который проходит через точку, с плоскостью или поверхностью, то есть – след луча на плоскости (поверхности). Для построения тени точки необходимо через неё провести световой луч и решить задачу пересечения его с плоскостью (рис. 4) или поверхностью.

При построении тени, падающей от точки А на плоскости проекций П1 и П (рис. 5) следует найти точки пересечения луча света, проведенного через точку А, с плоскостями проекций – это будут фронтальный след Ат² этого луча и его горизонтальный след Ат¹. На рис. 6 показано построение тени точки на фронтальную плоскость, если задана одна проекция точки А2 и расстояние М от неё до плоскости П2, на которую падает тень.

Тень от отрезков прямых, занимающих частное положение относительно плоскостей проекций (рис. 7).

Тень от многоугольного плоского отсека АВС строят как совокупность теней от каждой вершины отсека (рис. 10) на соответствующую плоскость проекций. Так, чтобы построить тень от точки А на горизонтальную плоскость, необходимо через неё провести фронтальную проекцию луча ║ S2 и построить точку пересечения этого луча с горизонтальной плоскостью проекций. Ат¹ - горизонтальный след данного луча. Так же строятся тени от точек С - Ст¹ и
В - Вт¹.

Для построения тени от точки В на фронтальную плоскость нужно провести через неё горизонтальную проекцию луча до пересечения с П2 и определить точку пересечения Вт² с фронтальной проекцией ║ S2 луча через точку В.

Тень от горизонтального квадрата на фронтальную плоскость

При построении тени от квадрата, у которого стороны глубинны и продольны, следует учитывать, как должны располагаться тени от отрезков частного положения (рис. 11, 12).

Продольное вспомога-тельное проецирование на вертикальную световую плоскость при построении падающих теней на фронтальную плоскость показано на рис.13, где построена тень, падающая от горизонтальной окружности на фронтальную плоскость. Для этого на окружности отмечено восемь точек, делящих её на равные части. Затем через центр окружности проведена вертикальная световая плос-кость и построена линия пересечения a этой световой плоскости с фронтальной плоскостью, на которую падает тень.

Расстояние m равно расстоянию от центра окружности до той же плоскости. Точки 2 и 6 лежат в световой плоскости α, и поэтому тени 2т² и 6т² лежат на прямой a.

Чтобы построить тень от точки 1, эту точку проецируют продольно на плоскость α. Тень от её проекции 13 падает на линию a, а тень от продольной прямой 113 на фронтальную плоскость – горизонтальна и на ней определяется искомая 1т². Тени от остальных точек строятся по тому же принципу.

При построении теней от объемных предметов существенное значение приобретает собственная тень, так как контур падающей тени – это тень от контура собственной тени.

Так, контур собственной тени квадратной призмы (рис.14) составляет ломаная линия 12345 и, следовательно, не освещены две боковые грани, невидимые на проекциях и ограниченные той же ломаной.

При построении падающей тени от пирамиды для определения собственной тени сначала строится тень Sт¹ от вершины S на горизонтальную плоскость и проводятся касательные к основанию пирамиды (рис.15). Контур падающей тени образуют ребра S1 и S2, они же являются контуром собственной тени.

Аналогичные построения можно использовать и при определении собственной тени на цилиндрических и конических поверхностях с вертикальными осями (рис. 16 и 17).

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

«Тени в прямоугольных проекциях»

Для выполнения задания необходимо вычертить две проекции заданного по варианту стили-зованного здания, его горизон-тальную (план здания) и фронталь-ную (фасад здания) проекции (рис.18). Построить линии взаимного пересечения геометрических фигур, составляющих объем здания. В рассматриваемом примере такими являются вертикальная четырех-гранная призма (в виде дымоходной трубы), трехгранные призмы, одна из которых расположена во фронтально-проецирующем положении, а другая занимает профильно-проецирующее (крыша здания). Построены точки пересечения ребер вертикальной призмы с продольной гранью трехгранной призмы (А′2,B′2,C′2). Затем построены линии пересечения двух призм крыши на горизонтальной проекции (рис. 18А,Б). Построения понятны на чертеже.

Далее, необходимо определить границы собственной тени на геометрических телах. Именно они будут определять контур падающей тени на плане и фасаде здания. Итак было определено, что на вертикальной четырехгранной призме контур собственной тени образуют: вертикальное ребро А′А, глубинное – АВ и продольное – ВС. Чтобы построить падающую тень от вертикального ребра А′А на наклонную плоскость крыши, через него проведена вертикальная световая плоскость β, пересекающая крышу по линии 12. Фронтальный луч, проведенный через точку А до пересечения с линией 1222, определяет тень от точки А на крыше (Ат²) (рис. 18А). Падающая тень от вертикального ребра А′А на горизонтальной проекции совпадает со следом световой плоскости β (А′1Ат¹), а на фронтальной – повторяет угол наклона ската крыши к горизонтальной плоскости (А′2Ат²). Тень от глубинного ребра АВ на фронтальной проекции совпадает с направлением луча S2 (Ат²Вт²), а от продольного ребра ВС тень Вт²Ст² будет параллельной самому ребру. Так построена падающая тень от вертикальной призмы на крышу здания А′АтВтСтС′ (рис. 18А).

Чтобы построить падающую тень от точки Е и от продольного ребра свеса крыши, на котором она находится (рис 18А), через точку проведена вертикальная световая плоскость α1, пересекающая стену здания по вертикальному ребру. Фронтальная проекция луча света, проведенная через точку (Е2), в пересечении с ребром определяет падающую тень от точки Ет² на фронтальной проекции. Тенью от продольного ребра на вертикальную плоскость стены здания будет продольная прямая, проведенная из точки Ет².

Контуром собственной тени на призме с глубинным расположением ребер являются продольное ребро на свесе крыши, фронтальное – MD и глубинное ребро, проходящее через точку D (рис. 18Б). Эти ребра будут определять контур падающей тени на фасад и крышу здания. Построения нужно начать с того, что сначала строится тень от вертикального ребра выступающей части здания на фасаде. Через него проведена вертикальная световая плоскость Г1, и в пересечении со стеной здания на фасаде определена падающая тень от вертикального ребра. Далее строится тень от точки М на фасаде. Для этого через точку на горизонтальной проекции проводится световая плоскость γ, построена линия пересечения её со стеной здания. Фронтальный луч света через точку Е, проведенный до пересечения с линией пересечения Г1 со стеной, определяет падающую тень Мт². Продольная прямая КМ даст тень на фасад Мт²Кт². Фронтальная прямая DM, а именно, отрезок её NM, на фронтальную плоскость стены даст тень, параллельную самому отрезку прямой Nт²Мт². Поэтому из полученной точки Мт² проводим прямую, параллельную DM, до пересечения с падающей тенью на фасад от продольного ребра свеса крыши и определяем тень Nт². Возвращаем точку Nт² обратным лучом на свес крыши, потому что точка N на прямой DM дает тень и на крышу, и на фасад здания. Точка D даст падающую тень на крышу здания. Для её построения необходимо через точку D провести глубинную световую плоскость Σ, которая пересекает крышу по линии 34. Построив её горизонтальную проекцию и проведя через точку D световой луч, определим точку Dт¹. Строится фронтальная проекция Dт². Точки D и N соединяются на обеих проекциях. Так определена падающая тень от фронтального отрезка прямой DN на наклонную плоскость крыши. Падающая тень от глубинного ребра на крыше на фронтальной проекции будет совпадать со следом световой плоскости Σ2 (42Dт²), а на горизонтальной проекции – с линией пересечения плоскости Σ с крышей здания 41Dт¹.

Вторая часть задания «Тени в прямоугольных проекциях» включает в себя две задачи. Первая: построение падающей тени от плоского треугольного отсека плоскости общего положения на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций (рис 19, А). Сначала необходимо построить падающую тень от вершин треугольника АВС на горизонтальную плоскость проекций Ат¹,Вт¹,Ст¹. Для этого через точку А проводится фронтальная проекция луча ║ S2 , определяется точка пересечения его с горизонтальной плоскостью проекций. Ат¹ - горизонтальный след данного луча. Тени от точек В и С строятся аналогично. Затем строятся тени от вершин треугольника АВС на фронтальную плоскость проекций Ат²,Вт²,Ст². Для этого проводится горизонтальная проекция луча света ║ S1 через точку А, определяется точка пересечения его с фронтальной плоскостью проекций Ат². Так же строятся точки Вт² и Ст². В результате определяется, какие вершины дадут тень на горизонтальную, а какие – на фронтальную плоскости проекций (построения
см. рис.10).

Вторая задача: построение падающей тени от горизонтальной окружности на фронтальную плоскость. Для этого необходимо задать глубинное расстояние m от центра окружности до фронтальной плоскости, назначить восемь точек на окружности и построить от них падающие тени, как показано на рис. 13.

Задания выполняются на двух листах формата А3 с последующей отмывкой. Варианты заданий – на стр. 12, вторая часть задания для всех студентов одинакова. Примеры выполнения заданий приведены на рис. 18,19.

В архитектурном проектировании часто приходится сталкиваться с построениями теней на фасадах и планах зданий, на генеральных планах и т.п. Пример таких построений рассмотрен на стилизированном объемном сооружении (рис.20).

Нетрудно заметить, что в данном объеме имеются в наличии ребра (прямые), которые занимают частное положение по отношению к плоскостям проекций, а именно: вертикальное, глубинное и продольное. Поэтому при построении необходимо учитывать закономерность падающих теней от таких прямых на горизонтальные и вертикальные плоскости. Для того чтобы построить падающую тень от вертикального ребра и точки 1, находящейся на нем, необходимо через ребро провести вертикальную световую плоскость α, которая пересекает плоскость фасада по вертикальной линии. Затем через точку 1 на фронтальной проекции проводится глубинная световая плоскость, которая пересекает плоскость крыши по линии, параллельной ребру 12.
Тень 1т¹ от точки 1 упала на крышу здания. Тень от глубинного ребра 12 будет параллельна ему (1т²2т²). Ребро 23 (продольное) даст тень на крышу 2т²3т² и будет параллельно этому ребру. Падающие тени на горизонтальную плоскость от всех остальных ребер и точек строятся так же и понятны на чертеже.

СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ТЕНИ ЦИЛИНДРА И КОНУСА С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСЬЮ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ

При построении собственной тени на цилиндре вращения с вертикальной осью (рис. 21) совмещаем основание с фронтальной проекцией цилиндра. Из центра О лучи под углом 45° к основанию проецируются на фронтальную проекцию цилиндра. Образующие 1 и 2 образуют контур собственной тени. Отношение отрезков радиуса основания ≈ 3:7.

Построение собственной тени на конусе вращения с вертикальной осью (рис. 22) начинается с проведения луча из точки А, параллельно левой образующей на конусе (если вершина его повернута вверх), до основания (точка В). Лучи под углом 45° отражаются на совмещенное основание конуса, определяя точки 1 и 2. На конусе, повернутом вершиной вниз, построения такие же, только луч из точки А до основания конуса проводится параллельно правой образующей на конусе (рис.23).

Величина неосвещенной части конуса зависит от его высоты. Чем высота меньше, тем меньше неосвещенная часть поверхности. Когда угол наклона образующих к основанию равен 45°, в тени находится четверть поверхности, если конус обращен вершиной вверх (рис. 24, А), и три четверти (рис. 24, Б), если вершиной вниз. Когда образующие конуса наклонены к основанию под углом , то в первом случае вся поверхность становится освещенной, во втором – неосвещенной (рис. 25, А, Б). Теоретически в первом случае одна линия будет в тени, во втором – в свету.

ПОСТРОЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ТЕНЕЙ НА ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ И АРХИТЕКТУРНЫХ ФОРМАХ

Специальным способом, который показан на рис. 26, можно построить двенадцать характерных точек для проекции окружности – контура собственной тени сферы. Поясное сечение сферы, принадлежащее описанному цилиндру, делится в соотношении 3:7 в обе стороны от центра (точки 3 и 9). В сечении, где касательная – образующая обертывающего конуса – наклонена под углом 45°, определяются точки 1 и 11, если вершина конуса обращена вверх
(см. рис. 24, А). Точки находятся: 1 – на контуре сферы, 11 – на оси. Если надеть на сферу такой же конус, но с вершиной, обращенной вниз
(см. рис. 24, Б), то построим точки 5 и 7. В сечении, где можно провести касательный конус к сфере с образующими, наклоненными к основанию этого конуса под углом θ≈35°, определяется точка 12, делящая радиус в отношении 3:7, если касательный конус располагается вершиной вверх (см. рис. 25, А), и точка 6, если конус – вершиной вниз (см. рис. 25, Б). Эти точки называются наивысшей (точка 12) и наинизшей (точка 6). Для построения точек 4 и 10 необходимо из точки 1 провести прямые, под углом 30° по отношению к прямой 1-7, до прямой, проходящей под прямым углом к прямой 1-7. Точки 2 и 8 строятся путем отложения трех горизонтальных одинаковых отрезков, для точки 2 – 10А, а для точки 8 – 4В.

Собственные тени на поверхностях вращения общего вида строят с использованием описанных цилиндров и конусов. Рассмотрим этот прием на эллипсоиде вращения (рис. 27). На поясное сечение эллипсоида I «надеваем» обертывающий вертикальный цилиндр и делим радиус в обе стороны от центра в отношении 3:7. Таким образом строятся точки 3 и 9. Точки тени на контуре и на оси 1, 11 и 5, 7 получаются путем проведения касательных конусов с образующими под 45° к основанию (см. рис. 24, А,Б). Для построения наивысшей точки 12 и наинизшей – 6 проведены касательные конусы ( ) с вершинами, обращенными вверх и вниз, соответственно, радиус сечения делится в отношении 3:7. В произвольно выбранных сечениях II и III проведены обертывающие конусы и выполнены построения, как показано на рисунках 22 (если вершина конуса обращена вверх) и 23 (если вершина его – вниз). Так построены точки собственной тени на эллипсоиде: 2, 10 в сечении II и 4,8 в сечении III.

На рис. 28 показаны построения точек контура собственной тени на поверхности вращения, у которого образующая есть кривая – скоция, один из архитектурных обломов (построения см. рис. 55). Поясное сечение поверхности вращения, которое принадлежит описанному цилиндру, делится в отношении 3:7. Получаем точки 5 и 11. На контуре поверхности и на оси построены точки 1,3 и 7,9 в результате построения обертывающих конусов (вершиной – вверх и вершиной - вниз) с образующими под углом 45° (см. рис. 24, А, Б). Точки тени 4,12 и 6,11 на произвольных описанных конусах с вершинами вверх и вниз строят, как показано на рисунках 22 и 23. Точки 2 и 8, наивысшая и наинизшая соответственно, строятся с помощью описанных конусов с образующими под углом θ≈35° и делением радиусов в отношении 3:7 (построения
см. рис. 25, А, Б).

Построения собственной тени на поверхности тора показаны на рис. 29. Последовательность построения точек контура собственной тени (как на торе, так и на всех поверхностях вращения) следующая.

1. Строятся точки в поясном сечении, где описывают цилиндр, и радиусы делятся в отношении 3:7 (рис. 21). Это точки 3 и 9.

2. Определяются точки на контуре поверхности и на оси 1,11 и 5,7. Для этого проводятся лучи, касательные к контуру, параллельные лучу S2.

3. Проводится луч под θ≈35°, касательный к контуру поверхности, радиус в этом сечении делится в отношении 3:7. Определяются наивысшая точка 12 и наинизшая 6 (рис. 25, А, Б).

4. Для построения дополнительных точек выбираются произвольные сечения на поверхности, описываются конусы с вершинами, направленными вверх и вниз, и построения выполняются, как показано на рис. 22 и 23. Так построены точки 2,10 и 4,8.

Ниже приведены примеры построения собственных теней на архитектурных обломах, которые образуют тела вращения (рис. 30, 31)

Падающие тени на фронтальную плоскость от поверхностей вращения можно построить с использованием продольного вспомогательного проецирования на вертикальную световую плоскость без применения второй (горизонтальной) проекции поверхности. На рис. 32 показано построение падающей тени от сферы на фронтальную плоскость, отстоящую от центра сферы на указанное расстояние m. При этом линией пересечения световой плоскости с фронтальной будет вертикальная прямая a, отстоящая на проекции от оси сферы на то же расстояние m. Тени от высшей 12 и низшей 6 точек контура собственной тени сферы, лежащих в световой плоскости, будут находиться на прямой а – это точки 12т² и 6т². Симметричными точками контура собственной тени сферы относительно световой плоскости будут точки, лежащие на одной горизонтальной прямой, например, точки 1 и 11. Тогда, чтобы построить тень 1т² от точки 1, следует из точки 11 провести луч света до пересечения с прямой d, а затем через точку пересечения – горизонтальную прямую до пересечения с лучом, проходящим через точку 1. Для построения тени 11т² от точки 11 следует провести горизонтальную прямую через точку пересечения прямой а с лучом 121т². При построении падающей тени 2т² от точки 2 нужно провести луч из точки 10 до пересечения с прямой а и из неё провести горизонтальную прямую до пересечения с лучом из точки 2. Точка тени 10т² строится с помощью горизонтальной прямой, проведенной через точку пересечения луча 222т² с прямой а и луча из точки 10. Так же строятся и другие точки эллипса падающей тени от сферы.

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАДАЮЩИХ ТЕНЕЙ НА ХАРАКТЕРНЫХ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫХ ФОРМАХ

Тень от квадратной плиты на призму (рис. 33) показывает, что продольная прямая 12 на плите дает падающую тень на вертикальную призму, параллельную самой прямой 12. Точка 1, поскольку находится она в световой плоскости α, дает падающую тень 1т² на ребро квадратной призмы.

На рисунках 34 и 35 показано, что тень от продольной прямой на вертикальную форму зеркально повторяет план этой формы. Это очевидно, так как тень – это линия пересечения поверхности продольной световой плоскостью, наклоненной к горизонтальной плоскости под углом 45°, а в этом случае линия сечения будет выглядеть одинаково на видах сверху и спереди.

Построение, показанное при определении тени на цилиндре (рис. 36), используется для построения тени от продольного ребра квадратной плиты на любое тело вращения, в том числе и на сферу (рис. 37). Для этого сферу рассекают вертикальными цилиндрами, строят собственную тень на каждом цилиндре и точки её (например 2т² и 4т²), принадлежащие линии пересечения этого цилиндра со сферой, отмечают как тени на сфере. Во всех рассмотренных случаях тени от глубинного ребра квадратной плиты совпадают с фронтальной проекцией светового луча независимо от формы поверхности, на которую бросает тень это ребро.

Собственная тень составного тела вращения состоит из теней каждой части. Так, на рис. 38 собственная тень составлена из части окружности контура собственной тени сферы, части горизонтальной окружности пересечения поверхностей и тени конуса. Падающая тень строится от контура собственной тени с помощью продольного вспомогательного проецирования.

Продольное вспомогательное проецирование может быть эффективно при построении падающей тени на фронтальную плоскость, дополненную вертикальными формами. На рис. 39 построены тени от сферы на поверхности вертикального цилиндра вращения. В этом случае тени от продольных проецирующих прямых зеркально повторяют форму плана, т.е. изображаются на цилиндре полуокружностями. Тени 1т² и 6т² от высшей и низшей точек собственной тени лежат на вертикальной образующей пересечения осевой световой плоскости с поверхностью цилиндра. Построение остальных точек тени можно проследить при определении точек 2т² и 3т² от симметричных относительно осевой плоскости точек 2 и 3. Для построения тени 2т² через точку 3 проведен луч света до пересечения с осью цилиндра в точке 3′, построена полуокружность с центром 3′, пересечение которой с лучом света, проведенным через точку 2, определит тень 2т². Тень 3т² – пересечение луча света 33т² с полуокруж-ностью с центром 2′. Остальные точки тени построены аналогично.

На рис. 40 и 42 показано, что тень от вертикальной прямой на продольные формы зер-кально повторяет профиль последней.

Построение тени от вертикальной квадратной призмы на стену и цоколь здания показано на рис. 40. Световая плоскость α пересекает форму по линии, вертикально сим-метричной её профилю. Тень 2т² будет нахо-диться на линии пере-сечения световой плос-кости со стеной и цоколем здания, посколь-ку точка 2 находится в плоскости α. Тень 2т²3т² от продольного ребра 23 на вертикальную плос-кость стены будет парал-лельна этому ребру. А тень 1т²2т² от глубинного ребра 12 совпадает с проекцией светового луча.

Продольное вспомогательное проеци-рование на осевую све-товую плоскость используется и при построении тени на сложные продольные формы. На рис. 41 показаны стена, цоколь и конус, от которого следует построить тень на вертикальную стену и цоколь здания.

Световая плоскость, проходящая через ось конуса, пересекает стену и цоколь здания по линии, зеркально симметричной этому профилю. Эту линию строят с помощью расстояния m от оси конуса до основной плоскости стены. Тень Sт² от вершины конуса падает на построенную линию пересечения, так как вершина лежит в плоскости α. Дальнейшее построение тени показано при определении точек тени 1т² и 2т² на одной из продольных прямых. Берут
точку А на пересечении этой продольной прямой с линией пересечения световой плоскости α, проводят обратный луч света до пересечения с контуром собственной тени конуса в точках 1′2 и 3′2.

Определяют симметричные им точки 12 и 22 , через которые проводят лучи света до пересечения с той же продольной прямой, где и определяют 1т² и 2т². Тени на других характерных продольных формах строят в той же последовательности.

На рис. 42 и 43 показаны построения теней от барьеров на ступеньки и от козырьков на стены здания. На рис. 43 для построения тени использована профильная проекция. Построения понятны на рисунках.

На рис. 44 построена тень на наклонную плоскость крыши здания от вертикальной квадратной призмы, накрытой квадратной плитой. На рис. 45 построена тень от цилиндрической трубы на крыше. Тени от вертикальных прямых здесь повторяют угол наклона крыши.

Интересен прием построения теней на телах вращения от горизонтальной окружности или от любого тела вращения. На рис. 46 построена тень от горизонтальной окружности цилиндрической плиты на цилиндр с вертикальной осью. Для этого полуокружность, бросающая тень, совмещается с осевой фронтальной плоскостью, затем подбором вписывается световой квадрат 11′ между окружностью, бросающей тень, её совмещенным положением и контурной образующей цилиндра, после чего отмечается точка 1т. По закону симметрии отмечается точка 2т на образующей, совпадающей с осью цилиндра. Затем из крайней точки 3 проводят луч света в совмещенном положении, т.е. под углом θ≈35°, к горизонтальной линии до пересечения с контурной образующей в точке 3′, через последнюю проводят горизонтальную прямую на полуцилиндре, которая делится в отношении 3:7 точкой тени 3т. Точку в любом сечении можно построить следующим образом. Выбранное сечение так же совмещается с той же фронтальной осевой плоскостью, а затем расстояние l между окружностью, бросающей тень, и этим сечением помещается горизонтально между совмещенными положениями окружностей. Граничная точка переносится на заданное положение сечения, где и получается точка тени 4т. Можно использовать другой способ построения точки 4т. Центр выбранного сечения О обратным лучом под 45° переносится в плоскость горизонтальной окружности, бросающей тень на цилиндр
(в положение О′), и строится новое положение окружности, которая бросает тень. Точка пересечения 4 между совмещенными положениями окружностей переносится на заданное сечение, где и будет находиться точка 4т. Так можно построить сколько угодно точек тени. Этот прием используется как для построения тени на любом теле вращения от горизонтальной окружности, так и при построении тени от цилиндрической плиты на сферу (рис. 47).

Если тень падает от одного тела вращения на другое (рис. 48), то в построении падающей тени тем же приемом вносится дополнение, связанное с тем, что тень падает не от горизонтальной окружности, а от наклонной, а точнее, от дуги 213. В этом случае проецированием точки 1 на горизонтальную плоскость сечения 23 задача сводится к предыдущей, однако совмещенным положением дуги, бросающей тень, будет не часть окружности, а часть эллипса 21131 , которую с достаточной для практики точностью можно изобразить окружностью, проходящей через те же три точки. В этом случае световой квадрат вписывается между окружностью, бросающей тень (21′3), её совмещенным положением 21131 и контурной образующей поверхности, после чего отмечается точка 4т. Все остальные точки (5т, 6т, 7т) построены, как показано на рис. 46. Нужно сказать, что тень, построенная таким образом, будет незначительно отличаться от той, которая построена на рис. 46, поэтому часто пренебрегают построением дуги 21131 (рис. 48) и строят тень, как от горизонтальной окружности в сечении 23.

Для построения теней от квадратной плиты на тело вращения и вертикальный цилиндр (рис. 49) использованы ранее рассмотренные приемы (рис. 36, 37, 48). Падающая тень от точки 1 и продольного ребра на цилиндре построена, как показано на рис. 36. Для построения точек 3т и 4т использован секущий вертикальный цилиндр. Падающую тень на него от продольной прямой отмечают как тени на поверхности вращения (см. рис. 37). Падающая тень от тела вращения в виде четвертного вала на цилиндр построена, как показано на рис. 48.

На рис. 50 показано построение тени от вазы на фронтальную стену. Сначала построены собственные тени на каждом элементе вазы и падающие от них на поверхности вазы, а затем – падающая на стену от границ полученных собственных теней. Для определения контура падающей на стену тени строятся последовательно тени от всех зафиксированных горизонтальных окружностей вазы на плоскость, отстоящую от оси вазы на расстояние m. Проводятся огибающие кривые к построенным теням от горизонтальных окружностей вазы, которые и являются очерком падающей тени от вазы на фронтальную плоскость.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

«Тени на вазах»

Выполнение задания можно раз-делить на четыре этапа.

1. Вычертить контур вазы, исполь-зуя при этом пост-роения архитектур-ных обломов (рис. 53-55). Задать расстоя-ние m от оси вазы до фронтальной плос-кости, на которую упадет тень от вазы.

2. Построить собственные тени на вазе. Для этого необходимо уточнить, из каких поверхностей вращения состоит ваза, какие архитектурные обломы использованы при её конструировании. Например, на вазе, изображенной на рис. 51 и 56 (примеры выполнения задания), использованы такие элементы, как цилиндрические – в верхней, средней и нижней частях, архитектурные обломы – прямая выкружка, прямой четвертной вал, скоция. Таким образом, на цилиндрах, или в тех сечениях, где можно провести касательные цили-ндрические поверхности, собственные тени строятся, как показано на рис. 21. На выкружке и четвертном валу точки 1, 2, 3, 4, принадлежащие линии контура собственной тени, построены как на рис. 30, а на скоции точки 5, 6, 7, 8, и 9 построены, как показано на рис. 28.

3. Далее следуют построе-ния падающих теней. Для построения падающей тени от горизонтальной окружности на тело вращения используют способ вписанных световых квадратов
(рис. 46). Точки А и С (рис. 51, А) построены с помощью вписанного светового квадрата в основание цилиндрической плиты, который касается контура вазы. Так определяются точка А и в этом же сечении точка С на оси. Наивысшая точка В строится с помощью луча, проведенного под углом 35° из крайней точки горизонтальной окружности до пересечения с контуром вазы. Определяется сечение, которое делится в отношении 3:7 (рис. 21). Таким же образом построена точка N (рис. 51Б). Для построения точки D (рис. 51, А) выбрано произвольное сечение на вазе и повернуто во фронтальное положение. Далее центр сечения О проецируется под 45° в положение О′, из которого радиусом R проводим окружность. В пересечении двух окружностей определяется точка D′ и проецируется на исходное сечение I. Так построена точка D. Таким же образом построена точка Е (рис. 51Б). Кривые линии АВСD и MNKE – контуры падающей тени на вазе.

4. Для определения контура падающей тени от вазы на стену строятся последовательно тени от всех зафиксированных горизонтальных окружностей вазы. Очерком падающей тени будут линии, огибающие падающие тени от выбранных окружностей. На рис. 56 приведен еще один пример выполнения задания «Тени на телах вращения типа вазы в прямоугольных проекциях».

Задание выполняется на чертежной бумаге формата А3 в карандаше с последующей отмывкой китайской тушью или акварельными красками. Варианты заданий приведены на стр. 39.

АРХИТЕКТУРНЫЕ ОБЛОМЫ

Многие здания снаружи и внутри имеют различные архитектурные украшения. Их можно также увидеть в контурах постаментов, декоративных ваз, мебели и т.п.

Профиль архитектурных украшений складывается из элементов, называемых
а р х и т е к т у р н ы м и о б л о м а м и. Архитектурные обломы имеют установленные формы. Отдельные их элементы связаны между собой определенными соотношениями. Эти соотношения выражаются через величину радиуса или через условную величину, которую обозначим буквой h.

По форме архитектурные обломы могут быть прямолинейные (рис. 52) и криволинейные
(рис. 53, 54, 55). Криволинейные обломы, такие, как полувал, шейка, прямой и обратный четвертной вал, прямая и обратная выкружка
(рис. 53) в своем очертании имеют одну дугу и прямолинейные участки.

Криволинейные контуры таких обломов, как прямой и обратный гусек и каблучок, а также скоция и сложный торус (рис. 54, 55), состоят из двух дуг окружностей. Для построения, например, прямого гуська (рис. 54) отрезок АВ делят пополам в точке С. Из точек А, С и В проводят дуги окружности радиуса R=AC=CB до пересечения в точках О1 и О2. Из точек О1 и О2 описывают две дуги того же радиуса R. Прямолинейные очертания гуська строят по заданным пропорциям. Построения других очертаний обломов понятны на чертеже.

Интересным является способ построения теней на симметричных архитектурных формах с использованием вспомогательного проецирования на осевые плоскости.

На рис.57 показано применение этого приема при построении падающей тени от шестиугольной плиты на такую же в плане пирамиду. Для построения падающей тени от точки I луч света АВпроецируется в направлении а на осевую плоскость α, в которой лежит точка I и левое среднее ребро пирамиды, параллельно горизонтальным прямым передней грани пирамиды. Фронтальной проекцией луча света при этом является отрезок m. Затем из точки I фронтальной проекции изображения проводят луч, параллельный m, до пересечения с ребром пирамиды в точке I1, из последней – горизонтальную прямую, которая в пересечении с лучом света, проходящим через точку I, образует искомую тень I_Т. Вправо от нее тень от продольной прямой на параллельную ей плоскость параллельна самой прямой. Для определения падающей тени на левой грани луч света проецируется на ту же осевую плоскость внаправлении b. Получено направление l, параллельная которому прямая, проведенная через точку I, пересекаясь с тем же ребром пирамиды, определит уровень падающей тени на первую грань пирамиды. На рис.58 этот прием использован при построении тени довольно сложной формы, образованной пересечением горизонтальных цилиндров с одинаковыми направляющими. Для определения теней правой цилиндрической поверхности луч света АВ проецируется на фронтальную осевую плоскость параллельно образующей этой же поверхности. Проекцией луча света служит вертикальная прямая А3В2. Тогда вертикальная касательная к контуру поверхности определит границу собственной ее тени. Построение падающей тени показано при построении тени от точки 2. Для этого луч света проецируется на осевую фронтальную плоскость в направлении образующих, после чего получают проекцию 21 точки 2. Через точку 21 проводят вертикальную линию, пересекающую контур в точке 22. Пересечение луча света, проведенного через точку 2, с горизонтальной прямой, проходящей через точку 22, определяет искомую тень 2т. Поскольку тенью будет кривая линия, для уточнения ее формы следует построить таким образом еще несколько точек тени.

Для определения теней на левой цилиндрической поверхности, луч света проецируется на ту же осевую плоскость в направлении образующих этой поверхности. Получают проекцию А4В2. Касательная к контуру, параллельная А4В2, определяет уровень собственной тени, секущая из крайней контурной точки – падающую тень.

На рис. 59 показано построение собственных и падающих теней на куполе с применением того же приема. Купол составлен из пересекающихся горизонтальных цилиндрических поверхностей. Для построения собственных теней на левой и правой поверхностях использовано вспомогательное проецирование на осевую фронтальную плоскость β луча света АВ. Тогда касательная, параллельная А3В2, определит границу собственной тени на правой поверхности, а касательная, параллельная А4В2, – такую же тень на левой поверхности. Для определения собственной тени на средней поверхности использовано продольное проецирование на осевую плоскость α. Вспомогательная проекция С3D2 луча света СD определяет направление касательной к кривой пересечения, лежащей в той же плоскости α, для построения границы собственной тени. Та же касательная, пересекаясь с ребром призмы, определит падающую тень на средней грани, а ранее проведенная касательная, параллельная А4В2 в пересечении с крайним ребром призмы, определит падающую тень на левой грани призмы.

На рис. 60 изображена цилиндрическая закрытая ниша. Падающая тень образуется от продольной и вертикальной прямых обрамления. Тень от продольной прямой зеркально повторяет план ниши и поэтому будет полуокружностью с центром, лежащим на оси цилиндра. Луч света из крайней левой точки 12 этой прямой ограничит полуокружность 11 и зафиксирует вертикальную прямую тени от вертикальной прямой обрамления. Собственная тень ниши образуется так же, как на поверхности цилиндра, только невидимая его образующая становится видимой.

На рис. 62 показано построение сферической ниши, которая образуется половиной поверхности сферы. Собственная тень ниши построена так же, как на рис. 32, где на сфере она была невидимой. Контур падающей тени строят путем деления полухорд, расположенных под углом 45° к горизонтальному направлению, на три равные части и откладывания одной трети на их продолжениях. В практике встречаются ниши с глубинной осью. На рис. 64 показано построение теней в конической нише, глубинная ось которой равна m. Вершина конуса проецируется на основание в направлении, параллельном лучам света, в результате чего получают точку S′2. Касательные прямые к окружности основания, проведенные через точку S′2 , определяют образующие собственной тени конуса. Построение точек падающей тени можно проследить при определении точки 3т². Для этого строят вспомогательную проекцию S′232 произвольно взятой образующей S3 конуса. Точка пересечения 3′2 перенесена лучом света на ту же образующую S232. Так можно построить сколько угодно точек падающей тени.

На рис. 61 показано построение тени в вертикальной конической нише. Тень в цилиндрической нише со сферическим завершением изображена на
рис. 63. Построение тени в плоской шестигранной нише с глубиной m показано на рис. 65.

На рис. 66 построена тень, падающая от пирамиды на поверхность соосной с ней цилиндрической ниши. При этом использовано продольное вспомогательное проецирование на световую плоскость, линией пересечения которой с поверхностью ниши является прямая Sт21. Тень от вершины S падает на эту линию пересечения, поскольку вершина лежит в осевой плоскости. Затем, чтобы построить падающую тень от точки I(I2) пирамиды, с помощью продольной прямой найдена симметричная её точка I′2 и через неё проведен луч света до пересечения с поверхностью в точке I0. Из центра О, лежащего на оси пирамиды, проведена полуокружность – пересечение поверхности ниши со световой плоскостью, проходящей через продольную прямую I2I′2. Полуокружность можно назвать тенью от продольной прямой на поверхность ниши, повторяющей зеркально план ниши. Так же построена тень 2т² от точки 2 на другом ребре, бросающем тень, и можно найти еще сколько угодно точек падающей тени.

Если тени падают на сложные поверхности (при различном сечении поверхностей, отбрасывающих тень), а применить описанные приемы нельзя, то используются способы секущих плоскостей и обратных лучей. Секущие плоскости, как правило, используются проецирующие, и тени при этом строятся с использованием двух проекций. На рис. 67 через вертикальные ребра призмы проведены вертикальные световые плоскости, определены линии пересечения и с поверхностью сферы. Последние ограничены световыми лучами из граничных точек тех же ребер. Промежуточные точки теней от горизонтальных ребер найдены с использованием дополнительных секущих плоскостей.

На рис. 68 тени отбрасывают наклонные образующие конуса, поэтому для построения линий пересечения проще использовать способ обратных световых лучей. Для этого строят падающую тень от конуса на горизонтальную плоскость его основания. На ту же плоскость в направлении света проецируют произвольное сечение α. Точки пересечения полученных теней 11 и 21 спроецированы затем в направлении, обратном световым лучам, на сечение α, где и получены точки тени 1т¹ и 2т¹.

Список литературы

1. Колотов С.В. Курс начертательной геометрии / С.М. Колотов, Е.Е. Дольский. – К.: Госстройиздат, 1961. – 292 с.

2. Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия / Н.Л. Русскевич. – К.: Будивельник, 1970. – 391 с.

3. Климухин А.Г. Начертательная геометрия: учебник / А.Г. Климухин. – М.: Стройиздат, 1973. – 367 с.

4. Методические указания к построению теней на характерных архитектурных формах / Сост.: М.Ф. Евстифеев, А.В. Кащенко, С.Н. Ковалев, А.И. Харченко. – К.: КИСИ, 1983. – 271 с.

5. Нарисна геометрія / В.Є. Михайленко, М.Ф. Євстифеєв, С.М. Ковальов,
О.В. Кащенко. – К.: Вища шк., 1993. – 271.

Учебно-методическое издание