Моменты инерции сечений и их свойства

Осевым, или экваториальным, моментом инерции площади фигуры (сечения) называют интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Так, моменты инерции произвольной фигуры (рисунок 4) относительно осей x и y соответственно

Полярным моментом инерции площади фигуры относительно данной точки (полюса O) называют интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний от полюса:

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей x и y, то

r² = x ² + y ².

Из выражения (2.2) имеем

Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции всегда положительны.

Центробежным моментом инерции (Ц.М.И.) называют интеграл произведения площадей элементарных площадок на их расстояния от координатных осей x и y:

В зависимости от положения осей Ц.М.И. может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю.

Ц.М.И. площади фигуры, показанной на рисунке 5а, относительно выбранной системы осей положителен, так как координаты x, y всех элементов положительны. При повороте осей вокруг начала координат на 90° (рисунок 5б) знак Ц.М.И. фигуры меняется на обратный, так как в этом положении координаты x всех элементов положительны, а координаты y – отрицательны.

Очевидно, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их положение, при котором Ц.М.И. равен нулю. Такие оси называют главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры, всегда будут ее главными осями инерции, поскольку в этом случае каждой положительной величине xy dA соответствует такая же отрицательная по другую сторону от оси симметрии (рисунок 5в) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями.

Моменты инерции некоторых простых сечений.

Моменты инерции прямоугольника со сторонами b и h относительно центральных осей x и y, параллельных его сторонам:

Момент инерции треугольника с основанием b и высотой h относительно оси, проходящей через его основание:

Полярный момент инерции круга диаметра d относительно его центра, а также момент инерции относительно центральной оси:

Осевой момент инерции кругового сектора OAB радиуса r относительно оси x:

Моменты инерции эллипса с полуосями a и b относительно центральных осей x и y: