О постановке задач возбуждения поля. Рассмотрим довольно общий случай постановки задачи о возбуждении электромагнитного поля заданными источниками

Глава 2

Рассмотрим довольно общий случай постановки задачи о возбуждении электромагнитного поля заданными источниками. Пусть неограниченное изотропное пространство состоит из областей (рис. 2.1), в каждой из которых параметры среды являются непрерывными функциями координат. На поверхностях и , являющихся границами раздела этих сред, пусть хотя бы один из параметров имеет разрыв. Так как на поверхностях раздела сред уравнения Максвелла в дифференциальной форме теряют силу, мы должны решать уравнения электродинамики в каждой из областей и по отдельности и затем на поверхностях и сопрягать полученные значения.

Предположим, что необходимо найти решение уравнений Максвелла только в области . Для комплексных амплитуд имеем

(2.1)

Полученные решения уравнений (2.1) в области должны еще удовлетворять заданным граничным условиям на поверхностях и , ограничивающих рассматриваемую область . Граничные условия на поверхностях раздела сред будут сформулированы в гл.3.

Для упрощения считаем, что электрический гистерезис и магнитные потери отсутствуют, т.е. . Это предположение не нарушает общности получаемых результатов.

Отметим, что применительно определению поля в области (рис. 2.1) теорему Умова-Пойнтинга

при наличии в этой области сторонних электрических и магнитных токов можно записать так:

 

(2.2)

Рис. 2.1 К постановке задач возбуждения электромагнитного поля

 

Последний интеграл в (2.2) берется как по поверхности ,так и по поверхности . При этом нормали к поверхностям и направлены так, как показано на рис. 2.1.

Из выражения (2.2) видно, что для определения энергетических соотношений в рассматриваемой области необходимо знать векторы и во всех внутренних точках области и тангенциальные составляющие этих векторов на поверхностях и .

Решение уравнений (2.1) или вытекающих из них уравнений второго порядка для вектора или вектора в общем случае неоднородных сред является очень сложной задачей. Введение же векторных потенциалов для неоднородных сред также сопряжено с определенными трудностями. Однако если бы мы хотели ввести понятие о векторных потенциалах при решении задач в неоднородных средах, то мы могли бы свести уравнения Максвелла (2.1) к следующим:

 

(2.1а)

Здесь и - токи электрической и магнитной поляризации, определяемые выражениями

, (2.3) . (2.4)

Причем и - произвольно выбираемые не зависящие от координат параметры среды в области . В частности, можно положить и . Тогда уравнения Гельмгольца для векторных потенциалов примут следующий вид:

, (2.5)

, (2.6)

где - не зависящий от координат коэффициент распространения. Поскольку уравнения Максвелла(2.1) являются линейными и применим принцип суперпозиции, т.е. , , то можно решать векторные уравнения Гельмгольца для , и для , . В первом случае в правой части должны стоять сторонние токи, во втором- токи поляризации. Однако при этом трудности решения задач для неоднородных сред не уменьшаются. На ряду с необходимостью удовлетворения решений граничным условиям на поверхностях и приходится еще, как правило, решать интегральные уравнения для вторичных токов в области , т.е. для токов поляризации.

Отметим, что когда поверхность отодвигается на бесконечность, область оказывается внешней областью относительно поверхности и тогда граничная задача называется внешней. В случае, когда поверхность стягивается в точку(исчезает), область оказывается внутренней областью относительно поверхности и тогда граничная задача называется внешней. В данной главе будет рассмотрена однородная изотропная среда области ; граница стянута в точку, а граница удалена на бесконечность.

Таким образом, будем далее рассматривать возбуждение электромагнитного поля при заданном распределении сторонних токов в неограниченной, однородной изотропной среде. Решения задач в такой среде очень хорошо разработаны и позволяют выявить основные закономерности возбуждения и распространения электромагнитных волн. Полученные при этом решения можно использовать при рассмотрении более сложных внутренних и внешних граничных задач. Поле, возбуждаемое источниками, расположенными в неограниченном пространстве, называют первичным (падающим) полем, а поле, отраженное границами сред,- вторичным полем. Граничную задачу при этом можно сформулировать так, что неизвестным оказывается только вторичное поле