Модель в натуральном и стандартизованном масштабе

Модель в натуральном и стандартизованном масштабе

1. Множественная модель в натуральном масштабе (общий вид) запишется так:

y_x=f (x_1,x₂,…,x_n)

y_x=a+b₁x₁+b₂x₂+…+b_mx_m+E

y_x-расчетные значения результата (отклик);

x_1,x₂,…,x_m – независимые переменные (регрессор)

b_1,b_2,…,b_m – коэффициенты уравнения.

Для любой регрессионной модели должны выполняться условия Гаусса-Маркова, причем:

1) M (E_i)=0 – математическое ожидание случайных ошибок должно быть равно 0.

2) D (E_i)=const. Дисперсия случайных ошибок должны быть постоянной.

3) Случайные ошибки не ковариируют между собой:

сov (E_i-1;E_i)=0, причем i-1 не равно i.

4) Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения.

2. Модель множественной регрессии в стандартизованном масштабе.

Построение модели регрессии в стандартизованном (нормированном) масштабе означает, что все переменные, входящие в модель должны стандартизоваться по специальным формулам: данный процесс устанавливаетя для каждой переменной её среднее значение по выборке.

Единицей измерения стандартизованной переменной является её среднеквадратическое отклонение:

t_y=β₁t_x1+ β₂t_x2+…+ β_mt_xm+E

t_y, t_x1, t_{x2, …,} t_xm – стандартизованные переменные;

β_1, β_{2, …,} β_m – стандартизованные коэффициенты уравнения регрессии. Данные коэффициенты показывают, насколько единиц в среднем изменится результат, если соответствующий фактор х изменится на 1 единицу при неизменном среднем уровне других факторов.

Результативная переменная у переводится в стандартизованный вид по формуле:

t_y=

Факторная переменная переводится по той же формуле, только вместо у – x_i

Классический подход к оценке коэффициентов уравнения основан также на методе наименьших квадратов (МНК):

1. МНК для модели в общем виде:

СНУ для моделей множественной регрессии имеют вид:

b₁=

b₂=

b_m=

a=

2. МНК для модели в стандартизованном масштабе: