Случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима.

Плотность распределения вероятностей f(x) – называют дифференциальной функцией распределения:

Свойство 1. Плотность распределения - величина неотрицательная:

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

Пример 1.25. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(x).

Решение: Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

Задания для самостоятельной работы:

1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

2. Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(x).

1.3. Числовые характеристики непрерывной случайной

величины

 

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

Частный случай. Если значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то:

f(x) – плотность распределения случайной величины.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси, определяется равенством:

Частный случай. Если значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a, b), определяется равенством:

.

Пример 1.26. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадание случайной величины Х в интервале (0; 0, 7).

Решение: Случайная величина распределена на интервале (0, 1). Определим плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

а) Математическое ожидание :

б) Дисперсия

в)

Задания для самостоятельной работы:

1. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти: а) математическое ожидание M(x);

б) дисперсию D(x);

в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (2, 3).

2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:

Найти: а) математическое ожидание M(x);

б) дисперсию D(x);

в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 1, 5).

3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:

Найти: а) математическое ожидание M(x);

б) дисперсию D(x);

в) определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

1.4. Законы распределения непрерывной случайной величины

1.4.1. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [ a, b ], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е.:

 

Рис. 4.

 

; ; .

Пример 1.27. Автобус некоторого маршрута движется равномерно с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина Х – время ожидания автобуса составит менее 3 минут.

Решение: Случайная величина Х – равномерно распределена на интервале [0; 5].

Плотность вероятности: .

Для того чтобы время ожидания не превысило 3 минут, пассажир должен появиться на остановке в интервале от 2 до 5 минут после ухода предыдущего автобуса, т.е. случайная величина Х должна попасть в интервал (2; 5). Т.о. искомая вероятность:

Задания для самостоятельной работы:

1. а) найти математическое ожидание случайной величины Х распределенной равномерно в интервале (2; 8);

б) найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2; 8).

2. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждом минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.

1.4.2. Показательное (экспоненциальное) распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

где – параметр показательного распределения.

Таким образом

 

 

Рис. 5.

 

Числовые характеристики:

; ; ; .

Пример 1.28. Случайная величина Х – время работы электролампочки - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампочки будет не меньше 600 часов, если среднее время работы - 400 часов.

Решение: По условию задачи математическое ожидание случайной величины Х равно 400 часам, следовательно:

;

Искомая вероятность , где

;

Окончательно:

Задания для самостоятельной работы:

1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .

2. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:

Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х.

3. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

1.4.3. Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

где а – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу :

, где

– функция Лапласа.

Распределение, у которого ; , т.е. с плотностью вероятности называется стандартным.

 

 

Рис. 6.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонена меньше положительного числа :

.

В частности, при а= 0 справедливо равенство:

Пример 1.29. Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение . Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0, 3.

Решение: .

Задания для самостоятельной работы:

1. Написать плотность вероятности нормального распределения случайной величины Х, зная, что M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15; 20).

3. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием а= 0. Найти вероятность того, что из 3 независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

 

Раздел II. Элементы математической статистики

2.1. Функция распределения. Полигон и гистограмма частот

 

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения Х относительную частоту события Х=x:

где n_x – число вариант, меньших Х; n – объем выборки.

Свойства эмпирической функции:

Свойство 1. Значение эмпирической функции принадлежит отрезку [0; 1].

Свойство 2. F*(x) – неубывающая функция.

Свойство 3. Если x_i – наименьшая варианта, а X_k – наибольшая, то F*(x)= 0 при и F*(x)= 1 при .

Пример 2.1. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

 

xi
ni

 

Решение:

1. Найдем объем выборки

n= 10 + 15 + 25 = 50.

2. На основании свойств функции х_мин= 1, т.о. при F*(x)= 0.

3. При значение функции х= 1 наблюдалось 10 раз, следовательно:

4. При значение х= 1 и х= 4 наблюдалось n₁+n₄= 10 + 15 = 25, следовательно:

5. Так как х_макс= 6, то при x> 6 F*(x)= 1.

6. Искомая функция:

График этой функции изображен на рис. 7.

 

Рис. 7.

 

Задания для самостоятельной работы:

1. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

а)

xi
ni

 

б)

xi
ni

 

2. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

а)

xi
ni

 

б)

xi	-2
ni