Условные средние

Условной средней называют среднее арифметическое наблюдаемых значений , соответствующих .

Например: при величина приняла значения ; ; . Условная средняя определяется выражением .

Условным средним называется среднее арифметическое наблюдаемых значений Х, соответствующих .

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины при Х=х (х - определенное возможное значение Х) называют произведение возможных значений на их условные вероятности:

Условное математическое ожидание есть функция от х ; - называют функцией регрессии на Х.

Аналогично определяется условное математическое ожидание . - функция регрессии.

Условное математическое ожидание есть функция от х, следовательно, его оценка, т.е. условное среднее - тоже функция от х, обозначив эту функцию через , получим уравнение .

Это уравнение называют выборочным уравнением выборочной регрессии на Х; функцию называют выборочной регрессией на Х, а её график – выборочной линией регрессии на Х.

Аналогично уравнение называют уравнением регрессии Х на .

При определенной корреляционной зависимости решаются две основные задачи:

Первая задача теории корреляции – устанавливает форму корреляционной зависимости, т.е. вид функции регрессии: линейная или нелинейная.

Вторая задача теории корреляции – оценить тесноту (силу) корреляционной связи (она оценивается по величине рассеяния у вокруг условного среднего - чем меньше расстояние, тем сильнее корреляционная зависимость).

Уравнение линейной корреляции можно записать в виде уравнения прямой линии:

.

Угловой коэффициент прямой линии регрессии на называют выборочным коэффициентом регрессии на и обозначают через . Он является оценкой коэффициента регрессии на :

.

- коэффициент корреляции и .

Выборочные уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированным данным имеют вид:

,

где ; .

Пример 2.14. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии на по данным наблюдений:

	2, 0	2, 3	2, 7	3, 1	3, 5	4, 0	4, 6	5, 0	5, 5	6, 3
	1, 0	1, 1	1, 3	1, 5	1, 6	1, 9	2, 1	2, 6	2, 8	3, 4

 

Для определения параметров выборочного уравнения составим таблицу:

2, 0	1, 0	4, 0	2, 00
2, 3	2, 0	5, 29	2, 53
2, 7	2, 7	7, 29	3, 51
3, 1	3, 1	9, 61	4, 65
3, 5	3, 5	12, 25	5, 6
4, 0	4, 0	16, 0	7, 6
4, 6	4, 6	21, 16	9, 66
5, 0	5, 0	25, 00	13, 00
5, 5	5, 5	30, 25	15, 40
6, 3	6, 3	39, 69	21, 42

Задания для самостоятельной работы:

1. На основании полученных измерений величин X и Y:

x
y

Найти линейную регрессию Y на X и выборочный коэффициент корреляции.

2. На основании полученных по результатам измерений значений величин X и Y:

x
y

 

Найти линейную регрессию X и Y и выборочный коэффициент корреляции.

3. В магазине постельных принадлежностей были проверены в течение пяти дней подсчеты числа покупок простыней X и подушек Y:

x
y

Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X и выборочный коэффициент корреляции.

2.5.2. Корреляционная таблица

При большом числе наблюдений одного и того же значения х может встретиться раз, одно и то же значение y - раз, одна и та же пара чисел (x, y) может наблюдаться . Поэтому данные наблюдений группируют, т.е. подсчитывают частоты , , . Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.