Функция распределения вероятностей случайной величины

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше х, т.е. .

F(x) – называют «интегральной функцией распределения».

Функция обладает следующими свойствами:

1. – значение функции распределения принадлежит отрезку [0, 1].

2. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента:

если x₂> x₁, то F(x₂)> F(x₁)

Следствие 1.

Следствие 2. – вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно отдельно взятое значение.

3. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b), то при F(x)= 0, при F(x)= 1.

Пример 1.23. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

X
p	0, 3	0, 1	0, 6

 

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Решение: если , то F(x)= 0;

если , то F(x)= 0, 3;

если , то F(x)= 0, 4 – на этом интервале х принимает значение 1 с вероятностью 0, 3 и значение 4 с вероятностью 0, 1. Поскольку эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей 0, 3 + 0, 1 = 0, 4

Если x> 8, то F(x)= 1.

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График функции приведен на рис. 3.

 

Рис. 3.

Пример 1.24. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1).

Решение: Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале .

Положив a= 0, b= 1, получим:

Задания для самостоятельной работы:

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

X
p	0, 2	0, 1	0, 4	0, 3

Найти функцию распределения и построить ее график.

2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (2, 3).

3. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (1; 1, 5).