Групповая и общая средняя

Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Общей средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.

Общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенных по объемам групп.

Пример 2.5. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n= 50:

 

xi
ni

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение: Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:

 

Пример 2.6. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n= 10:

 

xi
ni

 

Решение:

1. Первоначальные варианты - большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам:

. Полагаем с= 1270.

В результате получим новое распределение в условных вариантах:

 

ui	-20
ni

 

2. Найдем искомую выборочную среднюю:

Пример 2.7. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 106.

Найти: а) выборочную среднюю длину стержня;

б) выборочную и исправленную дисперсию ошибок прибора.

Решение:

1. Найдем выборочную среднюю:

.

2. Найдем выборочную дисперсию:

Найдем исправленную дисперсию:

Задания для самостоятельной работы:

1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n= 60:

xi
ni

 

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

2. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n= 20:

 

 

xi
ni

 

3. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти:

а) выборочную среднюю результатов измерений;

б) выборочную и исправленную дисперсию ошибок прибора.

4. Результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов занесены в таблицу:

Рост	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
Число студентов

 

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.

Указание: найти середины интервалов и принять их в качестве вариант.

Пример 2.8. Найти общую среднюю совокупности, состоящей из двух групп:

 

Группа	первая	вторая
значение признака	1 6	1 5
частота	10 15	20 30
объем	n1= 10+15 = 25	n2= 20+30 = 50

 

n=n₁+ n₂= 25+50=75.

Решение:

1. Найдем групповые средние:

; .

2. По групповым средним найдем общую среднюю:

.

Замечание. В некоторых случаях для расчета общей средней совокупности большого объема целесообразно разбить ее на несколько групп, найти групповые средние и по ним общую среднюю.