Трехкратные повороты
- Vocabulary game in net: https://www.youtube.com/watch?v=9D8oVMfBv54 – 2 hours - Reading the text “On the Move” – 4 hours
- Make a vocabulary with new definitions about the topic “Transport” – 2 hours, no less than 150 words – 2 hours
- Academic writing: Comparing data – 8 hours
Трехкратные повороты
Матрицу поворота, определяющую произвольную ориентацию одной системы координат относительно другой, можно представить в виде произведения трех матриц элементарных поворотов , (1) где - матрица -го элементарного поворота вокруг оси на угол . Значение соответствует повороту вокруг оси , – вокруг оси и – вокруг оси . Матрицы элементарных поворотов имеют следующий вид , , , где введены сокращенные обозначения , для тригонометрических функций углов поворота . Для этих матриц можно записать следующее общее выражение , (2) где - единичный вектор оси с номером ; . В выражении (1) должны выполняться условия и , поскольку соседние повороты не должны производиться вокруг одной и той же оси. Поэтому возможны только следующие 12 комбинаций поворотов : ; : . Комбинация {1,2,3} соответствует углам Брайнта, их также называют углами Кардана. Комбинации {3,1,3}, {3,2,3}, {3,2,1} соответствуют 1, 2, 3 системам поворотов в углах Эйлера. Комбинация {2,1,3} соответствует корабельным углам Крылова. Комбинация {2,3,1} соответствует самолетным углам {угол рыскания, угол тангажа, угол крена}. На основании взаимной ортогональности единичных векторов можно получить следующие выражения , , , , (3) , - -й элемент матрицы , , , . Обозначим индексом 1 исходную систему координат, а систему координат, полученную в результате трехкратного поворота от нее индексом 2. Используя (2),(3) можно получить выражения для элементов матрицы поворота в выражении (1). В полученных выражениях и далее будут использоваться следующие обозначения , , . В случае матрица поворота имеет следующий вид . (4) В случае матрица поворота имеет следующий вид . (5) Предположим, что значения элементов матрицы поворота (4),(5) известны . Тогда можно получить решения для тригонометрических функций углов поворота. В случае из матрицы (4) получаем следующее решение , , , , (6) , . Для решения (6) имеем особый случай при . При этом оси 1-го и 3-го поворотов совпадают. Из (6) получаем следующее решение для углов поворота для случая , , (7) , где . В случае из матрицы (5) получаем следующее решение для тригонометрических функций углов поворота , , , , (8) , , Для решения (8) имеем особый случай при . При этом оси 1-го и 3-го поворотов совпадают. Из (8) получаем следующее решение для углов поворота для случая , , (9) . Используя выражения для матриц поворота (4), (5) можно получить выражения для матриц , с использованием которых угловые скорости систем координат определяются выражением , (10) где . Продифференцировав (10) можно получить выражение для векторов в выражении для угловых ускорений систем координат Отметим, что ; , где в качестве выступают . В случае матрица и вектор имеют следующие значения , (11) . (12) В случае матрица и вектор имеют следующие значения , (13) . (14) Рассмотрим условия вырожденности матрицы , когда ее определитель становится равным нулю. В случае определитель , и получаем следующие условия вырождения матрицы . В случае определитель , и получаем следующие условия вырождения матрицы . Если матрица не вырожденная, то можно вычислить значение обратной матрицы . Используя обратную матрицу можно определить скорости и ускорения элементарных поворотов , . В случае матрица определяется следующим выражением . В случае матрица определяется следующим выражением .
|