Функциональные ряды и их свойства.

Опред:Ряд U_n(x)=U₁(x)+ U₂(x)+…+ U_n(x)+…(1) [a,b], такой ряд наз-ся функциональным рядом

Опред: ] [a,b]с х_о, если сод-ся числовой ряд _n=1Σ^∞ U_n(x_о), то будем говорить, что ряд (1) сход-ся в т. x_о (x_о-точка сход-ти ряда)

Множество всех точек сход-ти ряда(1) назовём областью сход-ти рядом

Опред: (1) наз-ся правильно сход-ся на [a,b], если для любого n выполнено нер-во U_n(x) <=a_n для любогоxc[a,b], _n=1Σ^∞a_n – сх-ся

Сва-ва правильно сход-ся рядов:

1) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], то (1) абсолютно сход-ся для любого х_оc[a,b]

2) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b] и его члены U_n(x) – непрер на [a,b] => S(x)= _n=1Σ^∞ U_n(x) - непрер на [a,b]

3) Если ряд (1) прав сход-ся на отрезке [a,b], U_n(x) - непрер на [a,b], то

_a∫^b S(x)dx= _n=1Σ^∞( _a∫^b U_n(x)dx)

В этом случае говорят, что ряд можно почленно интегрировать.

4) (1) сход-ся на [a,b]. S(x), U_n(x) – непрер диффир на интервале (a,b), _n=1Σ^∞ U_n’(x) – прав сход-ся на (a,b). Тогда существует S’(x)= _n=1Σ^∞ U_n’(x)(т.е возможно почленное диффир ряда) при чём S’(x) непрер на (a,b).

Степенные ряды, теорема Коши-Адамара (без д-ва), Пример. Теорема о правильной сходимости степенного ряда (док).

6) Определение: _n=1Σ^∞ C_n(x-a)ⁿ = C_o +C₁(x-a)+ C₂(x-a)²+…+ C_n(x-a)ⁿ+…(1) – называется степенным рядом ac R, C_n c R-коэффициентами степенного ряда Теорема Коши - Адамара: Для каждого степенного ряда (1) существует R с [0, ∞],что выполнено 2 условия:

7) 1)Если |x-a| <R => (1)абсолютно сход-ся

8) 2) Если |x-a| >R => (1)расходится

9) Если существует lim_n→∞ ⁿ√ |a_n|=l,то R=1/l {l= lim_n→∞|(a_n+1)/a_n|}

10) Теорема о правильной сходимости степенного ряда:

11) R>0=>для любого фиксированного r:0<r<R,ряд правильно сх-ся на [a-r;a+r]

 

17. Непрерывность суммы степенного ряда, почленное интегрирование и диффе-
ренцирование степенного ряда (док)..

S’(x)= _n=1Σ^∞(C_n(x-a)ⁿ)’= _n=1Σ^∞nC_n(x-a)^n-1 почленное диффир

R>0=>S(x) непрерывна в (а-R,а+R)

Док-во:сущест rc(0,R);x₀c(a-r,a+r) и ряд правильно сходится на (a-r,a+r)=>S(x) непрер на (a-r,a+r),где S(x) непрер в R=>S(x) непрер в x₀=>S(x) непрерывна

Ряд Тейлора, теорема о разложении элементарных функций в ряд Тейлора.

Разложение е"; sin х,c()s х, ln (1 + х) в ряды Тейлора (док],

Теорема: f(x) –элементарная функция (а-б,а+б), где б>0 => f(x) _n=1Σ^∞ f⁽ⁿ⁾(a)/n! для любого хс(а-б,а+б)

Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций:

1) f(x)=e^x определена в R, a=0, тогда f⁽ⁿ⁾(a)/n! = e⁰/n!=1/n! =>(по теореме) e^x _n=0Σ^∞ xⁿ/n! для любого xcR

2) f(x)=ln(1+x) x>-1 a=0, (а-б,а+б)=(-1,1)=> ln(1+x)= _n=0Σ^∞ (f⁽ⁿ⁾(a)/n!)*xⁿ ; f(x)=f(0)/0!=ln1/1=0

f’(x)=1/1+x=(1+x)^-1; f’’(x)=(-1)(1+x)^-2 …(-n+1)(1+x)^-n =>f⁽ⁿ⁾(0)=(-1)(-2)…(-n+1)=(-1)^n-1*(n-1)!=>C_n f⁽ⁿ⁾(0)/n!={(-1)^n-1(n-1)!}/n! =

(-1)^n-1/n = ln(1+x)_n=0Σ^∞ ((-1) ^n-1/n)*xⁿ для любого xc(-1,1)

3) sinx= _n=0Σ^∞ (f⁽ⁿ⁾(0)/n!)* xⁿ xcR

f(x)=sinx f’(x)=cosx f’’(x)=-sinx f’’’(x)=-cosx f⁽⁴⁾(x)=sinx =>

f⁽²ⁿ⁾(0)=+/- sin0=0 f^(2n-1)(0) =+/- cos0=+/- 1 =>

f’(0)/1!=1, f’’(0)/3!=-1/3!, f⁽⁵⁾(0)/5!=1/5!, f⁽⁷⁾(0)/7!=-1/7! => x-(1/3!)*x³+(1/5!)* x⁵-(1/7!)+…

12) cosx= _n=0Σ^∞ (f⁽ⁿ⁾(0)/n!)* xⁿ определена на R, a=0 (-∞,+∞)сх справедливое разложение

= 1-x²/2! + x⁴/4!-x⁶/6!+…+(-1)ⁿ/(2n)! x²ⁿ +…

 

 

Ряд Фурье. Теорема Дирихле о разложении функции в ряд Фурье. Пример.

Опред:Ряд a₀/2 + _n=1Σ^∞ (a_n*cosnx + b_n sinnx)(1) –называется рядом Фурье

a_m= 1/п _-п∫^п f(x) cosmx dx (3)

b_m=1/ п _-п∫^п (x) sinmx dx mcN (5)

Условия Дирехле: Если f(x) –кусочно непрерывная и кусочно монотонна f(x) на [a,b] выполняет условия Дерехле.

Теорема Дирехле: Если f(x) –фун-ция, заданная на R и на каждом отрезке [a,b] уд-ет услов-ям Дирехле, что ряд (1), постр по функции f, c коэффиц Фурье, выч по формулам (3 и (5) (этот ряд наз-ся ряд Фурье) сход-ся для всех х из R

20.Ряд Фурье для четных и нечетных функций, для 2l-периодических функций
(док). Пример.

f(x) на R 2п – периодическая, чётная

f(-x)=f(x) для любого x

то b_n=1/п _-п∫^п f(x)sinnx dx=0

При выполнении условий теоремы Дерехле для f(x) разложение её в ряд Фурье примет вид a₀/2 + _n=1Σ^∞ a_n cosnx

Аналогично в случае нечетной f(x)

а_n=1/п _-п∫^п f(x)cosnx dx=0 => f(x)= _n=1Σ^∞ b_nsinnx

Очевидно, f(x) удовлетворяет условиям Дерехле => разлагается в ряд Фурье

f(x)=a₀/2 + _n=1Σ^∞ a_n cosnx

a₀=1/п _-п∫^п f(x) dx =2/п ₀∫^п f(x) dx = 2/п x²/2 ₀|^п = п²/п = п

Случай 2l-периодических функций
(l – фиксированное и положительное)

f(x) удовлетворяет условия Дирехле (т.е кусочно монотонная и кусочно непрерывная) f(x+2l)=f(x) для любого x

Дифференциальные уравнения l-го порядка. Основные определения, теорема существования и единственности. Пример.

F(x,y,y’)=0 (1)

Определение: Дифференциальное уравнение (1) – называется разрешенным относительно произведения, если его можно записать в виде y’=f(x,y) (2)

Пример: y’-y=0; y(x)=c*e^x-y’=c*e^x; y’=y

Начальное условие: y(x₀)=y₀ (3)

Задача Коши:{y’=f(x,y) (4)

y(x₀)=y₀}

Теорема существования и единственности: Если f(x,y) из (2) имеет частные производные и они непрерывны в некоторой области GcR², то для любых точек x₀,y₀ из области G существует единственное решение задачи (4)

????????