Криволинейный интеграл l-го рода, его механический смысл. Вычисление, пример.
Учебное пособие
Редактор И.В.Неверова Корректор Н.И.Сочивко Компьютерная верстка Г. Ф. Ивановой Обложка Н.Н. Седых
Лицензия ИД № 06517 от 09.01.2002
Сдано в набор 19.03.2004. Подписано к печати 11.05.2004. Формат 60x84/16. Бум. для копировальной техники. Гарнитура «Тайме». Отпечатано на ризографе. Усл.печ.л. 8. Усл.кр.-отт. 8. Уч.-изд.л. 7,64. Тираж 250 экз. Заказ 225. С 72.
Санкт-Петербургский государственный горный институт имени Г.В.Плеханова РИЦ Санкт-Петербургского государственного горного института Адрес института и РИЦ: 199106 Санкт-Петербург, 21-я линия, 2
Формула вычисления криволинейного интеграла 2-го рода. Пример. Если кривая Г гладкая и задана уравнением x=x(t) y=y(t) z=z(t) tc[a,b], а функции P,Q,R непрерывны в области D, то ∫P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)= a∫b[P(x(t),y(t),z(t))*x’(t)+Q(x(t),y(t),z(t))*y’(t)+R(x(t),y(t),z(t))*z’(t))]dt dx(t)=x(t)dt. Замечание: В плоском случает (ф(х,у)=Pi+Qi) формула примет вид то ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy= a∫b[P(x(t),y(t))*х’(t))+Q(x(t),y(t))*y’(t)]dt Пример: ∫(y-1)dx+xydy=0∫2 ((x2-1)+x*x2*2x)dx=0∫2(x2+ 2x-1)dx Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования(док). Формула Грина: ] функции P(x,y),Q(x,y) непрерывны в области D вместе со своими частными производными. Контур С лежит в области Dвместе со своей внутренностью. Контур С является границей компакта Ъ, при чём на С выбрано положительное направление обхода контура, т.е. при обходе контура С, его внутренность остаётся локально слева, тогда криволинейный интеграл по контуру: С∫Pdx+Qdy= Ъ∫∫ (ðQ/ðx)-(ðP/ðy)dxdy Независимость: ∫Pdx+Qdy+Rdz(P,Q,R непрерывны в D) Г называется независящим от пути ин-я в этой области, если для любых 2-х кривых Г1,Г2 cD с общим началом и концом. ∫Г1Pdx+Qdy+Rdz= ∫Г2Pdx+Qdy+Rdz ∫Г Pdx+Qdy не зависит от пути инт-я в D необходимо и достаточно чтобы для любого контура С из D ∫с Pdx+Qdy=0 Док-во: необходимость: ] ∫Г Pdx+Qdy не зависит от пути в области D ] С любой контур cD A,B разбивают c на 2 кривых =>C= Г1UГ2, ∫Г1Pdx+Qdy = ∫Г2Pdx+Qdy т.к. интеграл не зависит от пути по определению => = ∫1Pdx+Qdy= -∫Г2Pdx+Qdy=> ∫Г1Pdx+Qdy+ ∫Г2Pdx+Qdy=0 ∫CPdx+Qdy по свойству аддитивности интервалов => ∫cPdx+Qdy=0 ч.т.д. достаточность: ] любое С cD ∫CPdx+Qdy=0 док-м что ∫сPdx+Qdy не зависит от выбора пути в обл-ти D. С=Г1UГ2 положительную ориентацию => тогда ∫cPdx+Qdy=0=> ∫г1UГ2Pdx+Qdy=0 => по свойству аддитив-ти ∫1Pdx+Qdy+ ∫Г2Pdx+Qdy=0 если изм-ть направление, то поменяется знак в интеграле ∫Г1Pdx+Qdy-∫Г2Pdx+Qdy=0=> ∫Г1Pdx+Qdy=∫Г2Pdx+Qdy=> интеграл не зависит от пути ч.т.д.
Потенциальное поле, условие потенциальности в односвязной области на плоскости. Связь с независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования (док). ≈ Опред-е: Поле Ф называется потенциальным в D, если существует непрерывно диффир. фун-я U(x,y,z): dU=(ðu/ðx)dx+(ðu/ðy)dy+(ðu/ðz)dz=Pdx+Qdy+Rdz,т.е ðu/ðx=P ðu/ðy=Q ðu/ðz=R U(x,y,z) –потенциал поля Ф Опред-е: Область DcR3, она наз-ся односвязной, если для любого С-замкнутого контура из D, существует повер-ть ScD, такая что граница S совпадает с контуром С. Опред-е: Ротором векторного поля Ф (rotФ) наз-ся функция: | i j k | Ф = | ð/ðx ð/ðy ð/ðz| = | P Q R |
= i(ðR/ðy- ðQ/ðz) – j(ðR/ðx- ðP/ðz) + k(ðQ/ðx - ðP/ðy) Теоремка: Если Ф(x,y)=Pi+Qi для того чтобы поле Ф было потенциальным в односвязной DcR2 необходимо и достаточно: P и Q имеют непрерывные частные производные при этом потенциал поля интеграл (XoYo)∫(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=U(x,y),где (xo yo)сD а (x,y) конец кривой. От формы кривой не зависит. Док-во: Док-м частично, если поле потенциально, то условие должно быть выполнено ðu/ðx=P ðu/ðy=Q => ðP/ðy=ð2U/ðxðy ðQ/ðх=ð2U/ðxðy 1 2 1=2=>условие ðP/ðy = ðQ/ðх выполнено
Поле Ф=Pi+Qi+Ri потенциально в односвязной обл-ти D ó(н и д) rotФ=0
] D-односвязная об-ть в R3 для того чтобы Г∫(Ф, dr) не зависит от пути в D необх и достат-но rotФ=0
Криволинейный интеграл l-го рода, его механический смысл. Вычисление, пример. т. Мо- материальная точка кривой; Δl длина и дуга кривой, которой принадлежит т. М0; Δm –масса кусочка Δl Если существует конечный limΔl->0Δm/ Δl=j(М0) [М0 cΔl]он наз-ся линейной плотностью кривой в М0. Будем полагать, что известно j(М0)-непрерывная функция(m ищем по плоскости). Разобьём кривую l последовательностью А0 А1,… Аn на каждой из малых дуг (Аi-1 Аi) c Mi(xi yi zi)i=1…n j(М) непрерывна Из определения линейной плотности вытекает что в случае однородной материальной кривой m=l* j0 j0-постоянная,т.к. j(М)= limΔl->0Δm/ Δl Обозначим Δmi дуги Аi-1 Аi, , m=i=1Σn Δmi Будем считать. Что Аi-1 Аi настолько малы, что j(М)= j(Мi)это приближенное равенство тем точнее, чем меньше дуга Аi-1 Аi(это достигается увеличением числа точек Аn), поэтому обоз-в Δli длину Аi-1 Аi можем восп-ся m=l* j0 => m= Δli* j(Мi). Тогда m = i=1Σn j(Мi)* Δli обозначим λ=мах i=1(diam Аi-1 Аi) – ранг разбиения кривой n→∞,если λ→0, то длина Аi-1 Аi→0. Если существует конечный limλ→0 i=1Σn j(Мi)* Δli=m. j(М) = j(x,y,z) в кач-ве jможем взять любую фун-ию заданную кривой j. Составим интегральную сумму и рассмотрим её предел при λ→0, если он существует и конечен и не зависит ни от способа разбиения кривой Г, ни от способа выбора т Мi, то он наз-ся криволинейным 1-ого рода от фун-ии Г и обоз-ся: Г∫ j(М)dl = Г∫ j(x,y,z)dl Теорема существования: ] кривая Г задана параметрически (x(t),y(t),z(t)) – непрер диффир) Тогда j(М) непрер на Г, то существ Г∫ j(М)dl. Формула для вычисления интеграла 1-ого рода. При выполнении условий теор существ мб доказана след формула: Г∫ j(М)dl= a∫b j(x(t),y(t),z(t))*√ ((x’(t))2, (y’(t))2, (z’(t))2)dt Пример: ] Г задана ур-ями x=a*cost y=asint z=t t[0,2п] Г мат крив и имеет плот-ть j(x,y,z)=z+1 m= Г∫ (z+1)dl = 0∫2п((t+1)√a2sin2t+a2cos2t+1)dt =√a2+10∫2п((t+1)dt=t2/2+t 0|2п=2п(2п+1)√a2+1
5. Поверхностный интеграл 1-го рода, его механический смысл. Вычисление. Те- Обозначим m-массу материальной пов-ти S Будем считать, что из-тна j(M) в каждой т M M0 cS ΔS → M0. diam ΔS обозначим Δm-массу кусочка ΔS ΔS=Δm/ ΔS Если существует конечный lim Δm/ ΔS {M0 cS, diam ΔS->0} –наз-ся плотностью =j(M0) j(M)-непрер на S. Заметим, что в случае однородности повер-ти m=j0*S j0 – плоскость. Разобьём поверхность S=U1Si. В каждом ΔSi берем точки Mi ΔSi-> Mi(xi yi zi)i=1…n Из непрерывности j(М) =>что j(М) j(Мi) для любого М с j(M0), если diam ΔSi мал. Равенство тем точнее, чем меньше diam ΔSi λ=max(diam ΔSi) –ранг разбиения поверхности. Обозначим Δmi – масса ΔSi =>можно применить в приближенном варианте формулу m=j0*S. Δmi = j(Mi)* ΔSi=> m= i=1Σn Δmi = i=1Σn j(Mi)* ΔSi. Это равенство тем точнее, чем меньше λ. Поэтому естественно считать, что m= limλ→0 i=1Σn j(Мi)*ΔSi Если j(М)-произвольная функция, заданная на поверхности S и существует конечный limλ→0 i=1Σn j(Мi)*ΔSi и он не зависит ни от способа разбиения ни от способа выбора т. Mi, то он наз-ся поверхностным интегралом первого рода по поверхности S и обоз-ся ∫∫S j(М)ds. Вычисление: S: z=φ(x,y)-непрер диффир в Ъ x=x y=y ∫∫S j(x,y,z)ds=∫∫Ъ j(x,y, φ(x,y))* √1+ (φx’(x,y))2+(φy’(x,y))2 dxdy Теорема существования: S-гладкая поверхность. ПИ 1рода существует, если j(M)-непрерывна на S.
|
