Коэффициенты Эйнштейна

Механизмом, с помощью которого можно изменить число фотонов в некоторой полости, является поглощение или испускание фотонов атомами, находящимися в полости или молекулами стенки полости. Теория Эйнштейна основана на некоторых разумных постулатах относительно поглощения и испускания фотонов атомами.

Пусть взаимодействие между атомной и фотонной системой осуществляется только в объеме полости, т.е. имеется газ, состоящий из N одинаковых атомов и фотонным газом, причём каждый атом имеет пару связанных состояний с энергиями E₁ и E₂, так что

. (П1)

Для такой системы возможны процессы с сохранением энергии, в которых фотоны с частотой ω; поглощаются или излучаются атомами, совершающими переходы между двумя состояниями. Допустим, что два атомных уровня являются мультиплетами с кратностью вырождения g₁ и g₂. Числа N₁ и N₂ атомов в состояниях с энергиями E₁ и E₂ будем называть населенностями соответствующих уровней.

Если атом находится в состоянии 2, то имеется конечная вероятность A ₂₁ в единицу времени спонтанного перехода в нижнее по энергии состояние 1 с эмиссией фотона, обладающего энергией ћω;. Теперь рассмотрим атом в состоянии 1. В отсутствии какого-либо излучения с частотой ω;, переход атома в состояние 2 невозможен, поскольку энергия в таком переходе не сохраняется. Однако при наличии излучения в полости с плотностью энергии W (ω;) переход в более высокое энергетическое состояние 1→2 может происходить за счет поглощения фотона. Предположим, что скорость такого перехода пропорциональна W (ω;) с коэффициентом пропорциональности B ₁₂.

Эти два процесса интуитивно представляются разумными, но не столь очевидным является, что присутствие излучения с плотностью энергии W (ω;) увеличивает также скорость перехода из более высокого энергетического состояния в более низшее. Но, это имеет место в реальности, поэтому обозначим эту скорость перехода как B ₂₁ W (ω;). Этот дополнительный излучательный процесс помимо неизбежного спонтанного, называется вынужденным излучением.

Здесь необходимо подчеркивать, что три коэффициента Эйнштейна A ₂₁, B ₁₂ и B ₂₁ определены таким образом, что они не зависят от W (ω;). Они зависят только от свойств рассматриваемых энергетических уровней и эта зависимость определяется методами более глубокого исследования на основании квантово-механических рассмотрений. Пропорциональность скоростей поглощения и вынужденного излучения величине W (ω;) справедливо только в тех случаях, когда плотность энергии медленно меняется с частотой ω; вблизи частоты переходов.

Рассмотрим влияние трёх скоростей переходов на населенности уровней N ₁ и N ₂, которые можно записать в виде:

 

. (П2)

 

При условии стационарности процесса, имеем:

 

. (П3)

 

В случае теплового равновесия, когда вынужденное излучение, вводимое в полость, отсутствует, плотность энергии в (П3) представляет собой мощность теплового излучения W_T и решение (П3) имеет вид:

 

. (П4)

 

Но этот результат должен согласовываться с формулой Планка для плотности распределения фотонов по энергии при заданной температуре, тогда

 

, . (П5)

 

Т.о., три коэффициента Эйнштейна являются взаимосвязанными, а скорость переходов между парой уровней могут быть выражены через значение одного коэффициента.