Функция распределения

 

Задачи

1. Задает ли закон распределения дискретной случайной величины каждая из следующих таблиц:

 

a)

X
P	0,05	0,15	0,20	0,25	0,35

 

б)

X
P	0,1	0,2	0,3	0,4	0,15

 

в)

X	S	S2	S3	…	1/2k	…
P	2/3	2/32	2/33	…	2/3k	…

 

г)

X		j	j2	…	1/4k	…
P		1/3	1/5	…	1/2k-1	…

 

д)

X		1/3		…	1/3k	…
P		j		…	1/4k	…

 

 

2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:

 

X		0,2	0,4	0,6	0,8
р	0,15	0,2	0,3	p4	0,15

Чему равна вероятность р4 = Р(Х = 0,6)? Постройте многоуголь­ник распределения.

3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:

 

X
P	p1	0,15	0,30	0,25	p5

Найдите вероятность р1 = Р(Х =1) и р5 = Р(Х = 5), если известно, что в 2 раза больше .

 

4. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число цифр на обеих верхних сторонах монет. Запишите закон распре­деления случайной величины X - число выпадения цифры на обеих мо­нетах.

5. В урне 7 шаров, из которых 4 голубых, а остальные красные. Из этой урны извлекаются 3 шара. Найдите закон распределения дискретной случайной величины Х- число голубых шаров в выборке.

6. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите закон распределения дискретной слу­чайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке.

7. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается число оч­ков на верхних гранях кубиков. Найдите закон распределения дискретной случайной величины, равной сумме очков, выпавших на трех кубиках.

Ответы

1.а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет. 2. p4 = 0,2. 3. p1 = 0,10, р3=0,20;

7. Указание. Всего равновозможных элементарных исходов = 216. Число исходов, благоприятствующих суммам: 3 и 18 - 1; 4 и 17-3; 5 и 16-6; 6 и 15-10; 7 и 14-15; 8 и 13-21; 9 и 12-25; 10 и 11 -27.

1. Что называют случайной величиной?

2. Какую величину называют дискретной случайной величиной?

3. Какую величину называют непрерывной случайной величиной?

4. Что называют законом распределения дискретной случайной ве­личины?

5. Как задают закон распределения дискретной случайной величины, принимающей конечное множество значений?

6. Что называют многоугольником распределения?

7. Как задают закон распределения дискретной случайной величины,
принимающей счетное множество значений?

 

Функция распределения

Функцией распределения [1] случайной величины X называется функ­ция действительной переменной х, определяемая равенством

F(х) = Р(Х < x), (2.2.1)

где Р(Х < х) - вероятность того, что случайная величина X примет зна­чение, меньшее х. Геометрически это означает следующее: F (х) - веро­ятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изо­бражается точкой на числовой прямой, расположенной слева от точки х (рис. 2.2).

Случайная вели-

чина называется не-

прерывной, если ее функция распределе­

ния Р(х) = Р(Х <х)

Рис.2.2.
является непрерывно дифференцируемой.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение из по­луинтервала [α, β), равна разности значений ее функции распределения F (х) на концах этого полуинтервала:

 

Р(α ≤ Х < β) = F (β) - F(α). (2.2.2)

 

Функция распределения F (х) случайной величины X имеет следую­щие свойства.

1. Все значения функции распределения F (х) принадлежат отрезку [0,1], т.е.

 

0 ≤ F(х) ≤ 1. (2.2.3)

 

Это следует из определения (2.2.1) и свойств вероятности.

2. Функция распределения F (x) является неубывающей, т.е. если х1 < х2, то

 

F() ≤ F() (2.2.4)

 

3. Функция F (х) в точке непрерывна слева, т.е.

 

, F( -0) = F (). (2.2.5)

 

4. Если все возможные значения случайной величины X принадле­жат интервалу (а, b), то для ее функции распределения F(х)

F (х) = 0 при х ≤ а, F (х) = 1 при х ≥ b. (2.2.6)

4. Если все возможные значения случайной величины X принадле­жат бесконечному интервалу (- ∞, + ∞), то

 

= 0, = 1 (2.2.7)

 

На основании свойств функции распределения Р(х) можно судить об особенностях ее графика (рис. 2.3 а, б).

 

Рис. 2.3

 

Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что

она примет одно, заданное определенное значение, равна нулю:

 

Р(Х =α) = 0, (2.2.8)

поэтому выполняются равенства:

 

Р(α ≤ X ≤ β)= Р(α < X ≤ β) = Р(α ≤ Х < β) = Р(α < X < β), (2.2.9)

 

Р(α < X < β) = F(β) - F(α). (2.2.10)

 

Функция распределения F(х) для дискретной случайной величины X, которая может принимать значения , , … с соответствующими вероятностями, имеет вид

 

F(x) = , (2.2.11)

 

где символ < х означает, что суммируются вероятности тех значе­ний, которые меньше х. Функция (2.2.11) является разрывной.

Пример 1. Дана функция

 

Показать, что эта функция является функцией распределения некоторой случайной величины X. Найти вероятность того, что эта случайная вели­чина принимает значения из

интервала.

 

 

Рис. 2.4

 

Решение. Все значения этой величины принадлежат отрезку [0, 1], т.к. |cos х| ≤ 1.

Функция F(x) является неубывающей: в промежутке она постоянная, равна

нулю, в промежутке возрастает, в промежутке (0,+∞) также постоянная, равная единице (рис. 2.4).

 

Функция непрерывна в каждой точке области ее определения - про­межутка (-∞, +∞), поэтому непрерывна слева и справа, т.е. выполняет­ся равенство (2.2.5). Выполняются и равенства (2.2.7).

Следовательно, функция F(х) удовлетворяет всем свойствам, ха­рактерным для функции распределения. Функция F(х) является функ­цией распределения некоторой случайной величины X.

Все значения случайной величины X принадлежат интервалу , поэтому выполняются и равенства (2.2.6) при и b =0.

В соответствии с формулой (2.2.10) находим искомую вероятность

 

 

Пример 2. Дана функция

 

Является ли эта функция функцией распределения некоторой слу­чайной величины?

 

 

Рис. 2.5

Решение. Эта функция на промежутке (1, 2], принимает значения, больше единицы. Условие (2.2.3) в данном случае не выполняется. Следовательно, укачанная функция F(х) не является функцией распределения случайной величины. График функции изображен на рис. 2.5. Отметим, что равенства (2.2.7) для этой функции выполняются.

 

Пример 3. Является ли функцией распределения случайной вели­чины функция

 

 

Решение. Данная функция не является функцией распределения случайной величины, так как в про­межутке (0,+∞) она убывает; нера­венство (2.2.4) в этом промежутке не выполняется. График функции изо­бражен на рис. 2.6.

Отметим, что все значения дан­ной функции принадлежат промежут­ку (0,1], т.е. функция удовлетворяет неравенствам (2.2.3). Удовлетворя­ет она и первому из равенств (2.2.7); второе из этих равенств для данной функции не выполняется.

 

Пример 4. Случайные величины X1 и Х2 имеют функции распреде­ления F1(х) и F2(х) соответственно. Доказать, что функция

 

 

является функцией распределения некоторой случайной величины X, здесь С1 и С2 - неотрицательные числа, сумма которых равна единице.

Решение. Поскольку и - функции распределения, то для них выполняются условия (2.2.3) - (2.2.5), (2.2.7). Принимая во внимание эти условия, получаем:

 

Таким образом, условиям (2.2.3) - (2.2.5), (2.2.7) удовлетворяет и функция F(х). Значит, функция где + =1, является функцией распределения некоторой случайной ве­личины X.

Пример 5. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:

 

X
P	0,2	0,4	0,3	0,1

Найти функцию распределения этой случайной величины.

Решение. Для построения функции распределения F( х) дискрет­ной случайной величины X пользуемся формулой (2.2.11).

1. При х < 0 .

2. При x< 0 ≤1,

3. При 1< x ≤2,

 

4. При 2< x ≤3,

 

5.При x > 3,

 

 

График функции F(x) изображен на рис. 2.7.

 

[1] Функцию распределения называют также интегральной функцией, или интегральным законом распределения случайной величины X.