Краткие сведения из теории. 2. Аксиомы алгебры логики

2. Аксиомы алгебры логики

Переменные, рассматриваемые в алгебре логики, могут принимать только два значения ноль или единица. В алгебре логики определены:

a. отношение эквивалентности, обозначаемое знаком =;

b. операция сложения (дизъюнкция), обозначаемая знаком + или Ú;

c. операция умножения (конъюнкция), обозначаемая знаком & или *;

d. операция отрицания (или инверсия), обозначаемая знаком надчеркивания или апострофом ’.

Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:

x = 0, если х 1, = 1,

x = 1, если х 0, = 0,

1+ 1 = 1, 0 * 0 = 0,

0 + 0 = 0, 1 * 1 = 1,

0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 * 0 = 0 * 1 + 0.

 

3. Логические выражения

Логические выражения связывают значение логической функции со значениями логических переменных. Они могут записываться или в конъюнктивной или дизъюнктивной нормальных формах. В дизъюнктивной форме логические выражения записываются как логическая сумма логических произведений, в конъюнктивной – как логическое произведение логических сумм. Порядок действий в логических выражениях такой же, как и в обычных алгебраических выражениях. Логические выражения связывают значение логической функции со значениями логических переменных.

 

4. Законы булевой алгебры

Они вытекают из аксиом и имеют две формы выражения: для конъюнкции и дизъюнкции. Эти законы используются при преобразованиях логических выражений.

Переместительный закон: ; ;

сочетательный закон: ; ;

распределительный закон: ; ;

закон повторения:

закон обращения: если , то ;

закон двойной инверсии:

закон универсального множества:

закон дополнительности: ; ;

закон нулевого множества: ;

закон поглощения:

закон склеивания: ;

закон инверсии (закон Де Моргана): .

5. Логические функции

Любое логическое выражение, составленное из n переменных x_n,, x_{n- 1}, …, x ₁c помощью конечного числа операций алгебры логики, можно рассматривать как некоторую функцию n переменных, называемую логической. В соответствии с аксиомами алгебры логики функция может принимать в зависимости от значения переменных значение 0 или 1. Функция n логических переменных может быть определена для 2 ⁿ значений переменных, соответствующих всем возможным значениям n -разрядных двоичных чисел.

Основной интерес представляют следующие функции двух переменных x и y:

f ₁(x, y) = x*y – логическое умножение,

f ₂(x, y) = x + y – логическое сложение,

f ₃(x, y) = – логическое умножение с инверсией,

f ₄(x, y) = – логическое сложение с инверсией,

f ₅(x, y) = – суммирование по модулю два или «Исключающее ИЛИ»,

f ₆(x, y) = – равнозначность.

 

6. Логические схемы

 

Физическое устройство, реализующее одну из операций алгебры логики или простейшую логическую функцию, называется логическим элементом. Схема, составленная из конечного числа логических элементов по определенным правилам, называется логической. Основным логическим функциям соответствуют выполняющие их схемные элементы. Например, функции f ₁(x, y) соответствует логическая схема «И», функции f ₂(x, y) – логическая схема «ИЛИ», функции f ₃(x, y) – логическая схема «И-НЕ», функции f ₄(x, y) – логическая схема «ИЛИ-НЕ».

 

7. Таблица истинности

 

Так как область определения любой функции n переменных конечна (может принимать 2 ⁿ значений), то такая функция может быть задана таблицей значений f (x), которые она принимает в точках x_i, где i = 0,1, …, 2 ⁿ -1. Такие таблицы называются таблицами истинности. В табл. 1 представлены значения функций
f ₁(x, y), …, f ₆(x, y).

Т а б л и ц а 1

i	Значения переменных	Функции
x	y	f 1(x, y)	f 2(x, y)	f 3(x, y)	f 4(x, y)	f 5(x, y)	f 6(x, y)