Функциональные ряды.Функциональные ряды. Функциональные последовательности. Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным. Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится. Совокупность таких значений называется областью сходимости. Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция: Определение. Последовательность { fn(x) } сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e > 0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(e, x), такой, что неравенство выполняется при n > N. При выбранном значении e > 0 каждой точке отрезка [a, b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a, b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a, b], т.е. будет общим для всех точек. Определение. Последовательность { fn(x) } равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 существует номер N = N(e), такой, что неравенство выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b]. Пример. Рассмотрим последовательность Решение. Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к. Построим графики этой последовательности: Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.
sinx
Функциональные ряды. Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х0. Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда. Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда) Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b]. Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами: т.е. имеет место неравенство: . Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом . Пример 1. Исследовать на сходимость ряд . Решение. При этом известно, что общегармонический ряд при a=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале. Пример 2. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Свойства равномерно сходящихся рядов. 1) Теорема о непрерывности суммы ряда. Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b]. 2) Теорема о почленном интегрировании ряда. Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b], сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку. 3) Теорема о почленном дифференцировании ряда. Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно. На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
|