ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Задача 1. На поверхность стеклянного объектива нанесена тонкая прозрачная пленка с показателем преломления 1,20

 

Задача 1. На поверхность стеклянного объектива нанесена тонкая прозрачная пленка с показателем преломления 1,20. Пленка освещается параллельным пучком белого света, падающим на нее под углом 45º. Найти минимальную толщину пленки, при которой в проходящем свете она будет окрашена в желтый свет с длиной волны 600 нм.

Дано:	СИ	Решение.
n1 = 1,20
n2 = 1,50
α = 45º
λ = 600 нм	м
dmin –?

 

 

При наблюдении интерференции в проходящем свете (рис. 1) интерферируют две волны – 1¢ и 2¢, первая из которых проходит через пленку без отражения, а вторая – испытав отражение от обеих поверхностей пленки (при этом от верхней поверхности пленки свет отражается от менее плотной среды (воздуха), и изменение фазы не происходит, а при отражении от нижней поверхности пленки – от более плотной среды с показателем преломления n₂ > n₁, происходит изменение фазы волны на 180º, что следует учесть, добавив к оптической длине пути второго луча λ/2). Тогда оптическая разность хода лучей 1¢ и 2¢ может быть представлена в виде:

(1)

Пленка в проходящих лучах будет окрашена в желтый свет, если для этой длины волны выполняется условие максимума интерференции:

(2)

где m = 0, 1, 2, …

С учетом формулы (2) получим:

(3)

отсюда

(4)

Очевидно, что минимальная толщина пленки будет соответствовать m = 1:

(5)

Производим вычисления:

Ответ: d_min = 0,194 мкм.

Задача 2.На дифракционную решетку в направлении нормали к её поверхности падает монохроматический свет. Период решётки 2 мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максимума, который даёт эта решётка в случае красного (λ_К = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (λ_Ф = 0,41 мкм) света.

Дано:	СИ	Решение. Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решётки, найдём порядок m дифракционного максимума: (1)
d = 2 мкм	2·10-6 м
λК = 0,7 мкм	7·10-7 м
λФ = 0,41 мкм	4,1·10-7 м
mmax К –?
mmax Ф –?

где d – период решётки, φ – угол дифракции, λ – длина волны монохроматического света. Так как sinφ не может быть больше единицы, то число m не может быть больше

. (2)

Производим вычисления:

- для красного цвета

- для фиолетового цвета

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то окончательно получаем: m_{max К} = 2; m_{max Ф} = 4.

Ответ: m_{max К} = 2; m_{max Ф} = 4.

Задача 3.Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света при прохождении через поляризатор и анализатор, расположенных так, что угол между их плоскостями пропускания составляет 50º. Коэффициент поглощения света равен 0,06. Потери на отражение света не учитывать.

 

Дано:	Решение. Естественный свет, проходя через поляризатор П, поляризуется в плоскости YOZ (см. рис. 2).
α = 50º
k = 0,06
I0 / I2 –?

Рис.2

 

С учетом поглощения, интенсивность поляризованного света I₁, может быть записана как

(1)

Плоскополяризованный луч света интенсивностью I₁ падает на анализатор А. Интенсивность светового луча I₂, прошедшего через анализатор, определяется по закону Малюса:

(2)

где α – угол между плоскостью поляризации в поляризованном луче и плоскостью пропускания анализатора.

Учитывая потери интенсивности на поглощение в анализаторе

(3)

а также выражение (1) для определения I₁, получаем:

. (4)

Тогда относительное уменьшение интенсивности света, прошедшего через поляризатор и анализатор, найдем, разделив интенсивность I₀ естественного света, падающего на поляризатор, на интенсивность I₂ поляризованного света, прошедшего через анализатор:

(5)

Подставляя данные задачи и производя вычисления, получим:

Ответ: после прохождения света через поляризатор и анализатор, с учетом данных задачи, его интенсивность уменьшится в 5,48 раза.

Задача 4.Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности вольфрамовой пластинки при ее облучении электромагнитным излучением длиной волны 230 нм, красную границу для данного металла и задерживающую разность потенциалов, при которой фототок становится равным нулю.

Дано:	СИ	Решение. При облучении электромагнитным излучением поверхности металла происходит вырывание электронов – это явление называется внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом). Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта имеет вид:
AВ = 4,50 эВ
λ = 230 нм
νmin –? vmax –? Uз –?

 

(1)

где – энергия падающих фотонов электромагнитного излучения, Дж;

– постоянная Планка;

ν – частота падающего излучения, Гц;

λ – длина волны падающего излучения, м;

с = 3·10⁸ м/с – скорость света в вакууме;

A_В – работа выхода электрона из металла, Дж (приложение, табл. П.3);

– максимальная кинетическая энергия вырванных фотоэлектронов, Дж;

– масса электрона;

v_max – максимальная скорость вылетевшего электрона, м/с.

Из уравнения (1) видно, что возникновение фотоэффекта возможно при соблюдении следующего условия:

(2)

т. е. энергия падающих фотонов должна быть не меньше работы выхода.

Тогда для каждого металла существует минимальная частота излучения ν_min (или максимальная длина волны λ_max), с которой фотоэффект и начинается:

(3)

или

(4)

(ν_min или λ_max называют красной границей фотоэффекта).

Работа выхода А_В для вольфрама (приложение, табл. П.3)

тогда красная граница фотоэффекта

Из уравнения (1) можно найти максимальную скорость вырванных фотоэлектронов:

(5)

Производим вычисления:

Чтобы задержать вылетающие из металла электроны, можно приложить задерживающее электрическое поле, при этом

(6)

где – заряд электрона;

U_з – задерживающее напряжение, В.

Из формулы (6) получим:

Производим вычисления:

Ответ:

З а д а ч а 5. Следует ли учитывать волновые свойства у электрона, вылетевшего из электронной пушки электронно-лучевой трубки и движущегося к экрану, если ускоряющая разность потенциалов пушки равна 2,50 кВ, а расстояние от пушки до экрана составляет 500 мм? А если бы электрон с такой же скоростью двигался внутри атома?

Дано:	СИ	Решение. Согласно гипотезе де Бройля любая движущаяся частица обладает волновыми свойствами и для нее можно вычислить дебройлевскую длину волны λБ по формуле де Бройля:
U = 2,50 кВ
S = 500 мм	0,5 м
λБ –?

(1)

где – постоянная Планка;

р – импульс частицы, кг·м/с.

Так как электрон приобрел импульс в ускоряющем электрическом поле электронной пушки,

(2)

где - заряд электрона;

U – ускоряющее напряжение пушки, В;

– масса электрона.

С учетом формулы (2) получим:

(3)

Проверяем единицу измерения:

Проводим вычисления:

Сравнивая дебройлевскую длину волны с расстоянием S = 500 мм, проходимым электроном до экрана, делаем заключение, что волновые свойства электрона учитывать не следует (λ_Б << S) и электрон в этой задаче можно считать частицей. Произведя аналогичные сравнения для атома (размер атома – порядка 10^{-10 м), можно заключить, что в этом случае наоборот электрон нельзя считать частицей (λ}_Б соизмерима с размером атома) и его поведение следует описывать квантовой (волновой) механикой.

Ответ: λ_Б = 24,6 пм, при движении электрона в электронно-лучевой трубке волновые свойства не существенны, а при движении внутри атома учет волновых свойств обязателен.

З а д а ч а 6. Какую наименьшую энергию должны иметь бомбардирующие электроны, чтобы при возбуждении ударами этих электронов атома водорода его спектр содержал бы три спектральных линии? Вычислить длину волны линий, принадлежащих к серии Бальмера. Решение задачи пояснить схемой.

Решение.

Энергия электрона в атоме квантуется (принимает дискретные значения) W_n:

(1)

где const – постоянная для каждого атома величина (для атома водорода const = 13,6 эВ);

– номер энергетического состояния электрона в атоме (номер уровня энергии).

Выражение (1) удобно изображать в виде диаграммы уровней энергии (рис. 3).

Самый нижний уровень (n = 1) соответствует основному невозбужденному состоянию атома. Все остальные состояния – возбужденные.

Если атому каким-то способом сообщить дополнительную энергию (например, бомбардируя его движущимися частицами, облучая светом), то он может перейти в одно из возбужденных состояний (поглотив определенную порцию энергии). Время жизни в возбужденном состоянии у атома незначительное (порядка 10^-8 – 10^-9 с), по прошествии его атом спонтанно (самопроизвольно) переходит в одно из состояний с меньшей энергией, излучая при этом кванты электромагнитной энергии определенной частоты (или длины волны):

(2)

где - энергия излучаемого атомом электромагнитного излучения, Дж;

– постоянная Планка;

ν_mn - частота излучения, соответствующая переходу электрона с уровня с номером m на уровень с номером n, Гц;

λ_mn - длина волны излучения, м;

с = 3·10⁸ м/с – скорость света в вакууме;

W_m, W_n – энергия m и n уровней электрона в атоме, Дж.

Для того чтобы в спектре излучения водорода появились три спектральные линии, нужно атом перевести во второе возбужденное состояние (n = 3). Для этого необходимо, чтобы минимальная кинетическая энергия у бомбардирующих атом электронов

(3)

Подставляя в формулу (3) численные значения, получим:

К серии Бальмера принадлежат спектральные линии, соответствующие переходам в первое возбужденное состояние (n = 2) с вышележащих уровней. Из рис. 3 видно, что такой переход один (с m = 3 на n = 2), тогда

(4)

Отсюда

(5)

Вычисляем:

Ответ: W_{k min} = 12,09 эВ; λ₃₂ = 658 нм (это соответствует видимому диапазону электромагнитного излучения).

Задача 7.При соударении α – частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовались два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции.

Решение.

Обозначим неизвестное ядро символом . Так как α – частица представляет собой ядро гелия , запись реакции имеет вид

.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение

, откуда А = 13.

Применив закон сохранения заряда, получим уравнение

, откуда Z = 6.

Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода . Теперь можно записать реакцию в окончательном виде:

.

Задача 8.Определить количество тепла, необходимого для нагревания кристалла NaCl массой 20 г от температуры 2 К до температуры 4 К. Характеристическую температуру Дебая Т_D для NaCl принять равной 320 К.

Дано:	СИ	Решение. Тепло подводимое для нагревания тела от температуры Т1 до Т2 может быть вычислено по формуле , (1) где С – теплоёмкость тела.
m = 20 г	2·10-2 кг
Т1 = 2 К Т2 = 4 К М = 58,5·10-3 кг/моль R = 8,31 Дж/(моль·К) ТD = 320 К
Q –?

Теплоёмкость тела связана с молярной теплоёмкостью соотношением

, (2)

где m – масса тела, с_М – молярная теплоёмкость тела, М – молярная масса.

Подставив выражение (2) в формулу (1), получим

(3)

В общем случае молярная теплоёмкость с_М есть сложная функция от температуры. Однако, если выполняется условие Т << T_D, то нахождение Q облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, согласно которому молярная теплоёмкость пропорциональна кубу термодинамической температуры:

. (4)

Подставив выражение (4) в формулу (3), получим

.

Выполним интегрирование:

.

Производим вычисления:

.

Ответ: Q = 1,21 мДж.