Первая модификация метода Ньютона выполняется по формуле

 

x_i+1 = x_i – y(x_i)/y`(x₀),

т.е. на каждой итерации используется константное значение производной y`(x₀)

Вторая итерация в предыдущем разделе выполняется по формуле

x₂ = x₁ – y(x₁)/y`(x₀) = 2.8333-(2.8333^2-8)/(2*3) = 2.8287.

5. Для заданного интеграла найдите оценку по формуле трапеций при фиксированном числе разбиений интервала (N=4).

S=

5.1 Формула трапеций для интеграла S= при числе разбиений интервала интегрирования на N=4 частей имеет вид:

S=h/2 *[f(x₀)+2*f(x₁)+2*f(x₂)+2*f(x₃)+f(x₄)],

где h=(b-a)/N; x₀=a; x₁=a+h; x₂=x₁+h; x₃=x₂+h; x₄=x₃+h=b.

1. a=0; b=1; h=(1-0)/4=0.25; составим таблицу

X0=0	X1=0.25	X2=0.5	X3=0.75	X4=1
F(x0)= 0	F(x1)= -0.1875	F(x2)= -0.25	F(x3)= -0.1875	F(x4)= 0.

S=0.25/2*[0-2* 0.1875-2*0.25-2*0.1875+0]= -0.1563

 

5.2 Формула Симпсона для интеграла S= при числе разбиений интервала интегрирования на N=4 частей имеет вид:

S=h/3 *[f(x0)+4*f(x1)+2*f(x2)+4*f(x3)+f(x4)] и расчет предыдущего интеграла дает:

S=0.25/3*[0-4* 0.1875-2*0.25-4*0.1875+0]= -0.1667

 

6. Для заданной функции постройте ее график в разумном диапазоне для поиска точек ее локальных экстремумов (наибольшего и наименьшего значений). Н айдите наибольшее значение взятием производной и решением возникающего уравнения f'(x)=0.

f(x)=2x³-8x²-65x+10

Вычислим несколько значений функции:

f(-3)=79; f(-2)=92; f(-1)=65; f(0)=10; f(1)=-61;

экстремум типа максимума ожидается в районе x=-2.

Н айдем наибольшее значение взятием производной и решением возникающего уравнения f'(x)=0.

Запишем производную f’(x)=6x^2-16*x-65 и решим квадратное уравнение

6x^2-16*x-65 = 0; корни x1=-2,218; x2=4,885. Экстремум типа локального максимума находится в точке x=-2,218.

 

 

7. Рассчитать коэффициенты полинома второй степени по интерполяционной формуле Ньютона, используя таблицу значений исходной функции

Задана таблица значений исходной функции

0	4
1	5
2	14

Где i=0,1,2.

Рассчитаем таблицу разделенных разностей:

xi	yi	Р.р. 1-ого порядка	Р.р. 2-ого порядка
		y(x0,x1)=(4-5)/(0-1)=1	y(x0,x1,x2)=(1-9)/(0-2)=4
		y(x1,x2)=(5-14)/(1-2)=9

Интерполяционная формула Ньютона:

P2(x)=y0+(x-x0)*y(x0,x1)+(x-x0)*(x-x1)*y(x0,x1,x2)=4+(x-0)*1+(x-0)*(x-1)*4=

=4+x+4*x^2-4*x=4*x^2-3*x+4; коэффициенты полинома P=[4 -3 4].

8. Текст завдання Рассчитать коэффициент полинома первой степени при x (при x в нулевой степени) по методу наименьших квадратов, используя таблицу «зашумленных» значений исходной функции.

Таблица «зашумленных» значений исходной функции

x= -3 -1 1 3 5

y= -1.49 -3.44 -6.49 -7.51 -11.07

Рассчитать коэффициенты полинома первой степени

Составим таблицу:

x	y	x^0	x^2	x*y
-3	-1.49			4.47
-1	-3.44			3.44
	-6.49			-6.49
	-7.51			-22.53
	-11.07			-55.35
	-30			-76.46
A12 = A21	B1	A11	A22	B2

В предпоследней строке вычислены суммы по столбцам; это коэффициенты системы двух линейных алгебраических уравнений AX=B

A= B= , или ; вычитаем из 1-ого 2-ое уравнение и получаем x₂=(-30+76.46)/(-40)=-1.16; Подставляем в первое уравнение и получаем

x₁=(-30+5*1.16)/5=-4.84; таким образом, решение этой системы (-4.84; -1.16)

определяет коэффициенты аппроксимирующего полинома первой степени.

9. Рассчитать приближенные значения первой производной по таблице значений функции y=sin(x), используя симметричную и несимметричную схемы в точке x= 2; Сравнить с точным значением производной.

x= -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y= -0.1411 -0.9093 -0.8415 0 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589

Симметричная схема расчета первой производной в точке x=2:

dy/dx ≈ [y(3)-y(1)]/(3-1) = (0.1411-0.8415)/2= -0.3502.

 

Несимметричная схема расчета первой производной в точке x=2:

dy/dx ≈ [y(2)-y(1)]/(2-1)= (0.9093-0.8415)/1 = 0.0678.

Точное значение по формуле первой производной dy/dx=cos(2)= -0.4161.

Симметричная схема дает лучше результат по сравнению с несимметричной.