Нахождение корней уравнения

Рассмотрим пример нахождения всех корней уравнения

x ³ - 0,01 x ² - 0,7044 x + 0,139104 = 0.

Отметим, что у полинома третьей степени имеется не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их предварительно надо локализовать. С этой целью необходимо полином протабулировать. Построим таблицу значений полинома на отрезке [–1,1] с шагом 0,2 и график полинома. Результат приведен на рис. 29, где в ячейку В2 введена формула

=A2^3 – 0,01*A2^2 - 0,7044*A2 + 0,139104.

Рис. 29. Локализация корней полинома.

На рис. 29 видно, что полином меняет знак на интервалах [–1,–0,8], [0,2, 0,4] и [0,6, 0,8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. Поскольку полином третьей степени имеет не более трех действительных корней, мы локализовали все его корни.

Найдем корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис / Подбор параметров. Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры, открываемого командой Сервис / Параметры (рис. 30).

Рис. 30. Диалоговое окно Параметры.

Зададим относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000 соответственно. В качестве начальных приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней. Возьмем в качестве начальных приближений их средние точки: –0.9, 0.3, 0,7 и введем их в диапазон ячеек С2:С4. В ячейку D2 введем формулу

=C2^3 – 0,01*C2^2 – 0,7044*C2 + 0,139104.

Выделим эту ячейку и с помощью маркера заполнения протащим введенную в нее формулу на диапазон D2:D4. В ячейках D2:D4 будут вычислены значения полинома при значениях аргумента, введенных в ячейки C2:C4.

Теперь выберем команду Сервис / Подбор параметров и заполним диалоговое окно Подбор параметров следующим образом (рис. 31).

Рис. 31. Диалоговое окно Подбор параметров.

В поле Установить в ячейке введем D2. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. В поле Значение введем 0 (в этом поле указывается правая часть уравнения). В поле Изменяя значение ячейки введем С2 (в этом поле дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную).

Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке. При этом Excel автоматически будет превращать их в абсолютные ссылки (в нашем примере в $D$2 и $C$2).

После нажатия кнопки ОК средство подбора параметров находит приближенное значение корня, которое помещается в ячейку С2. В данном случае оно равно –0,920. Аналогично в ячейках С3 и С4 находим два оставшихся корня. Они равны 0,210 и 0,720.