Численный метод анализа, называемый методом конечных разностей (МКР), имеет длительную историю развития. Первоначально он использовался при ручном счете. Однако из-за малой производительности расчетчиков этот метод еще относительно недавно применялся лишь для ориентировочных расчетов, когда аналитические методы решения оказывались совершенно неприемлемыми. Появление ЭВМ с большим быстродействием и значительным объемом оперативной памяти вывело конечно-разностные методы в первые ряды современных методов решения теплофизических задач.
Идея метода конечных разностей состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов заменяется расчетной сеткой - дискретным множеством точек (узлов). Вместо функции непрерывных аргументов вводятся функции дискретных аргументов - сеточные функции, определяемые в узлах сетки. Частные производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями.
В результате такой замены краевая задача в частных производных сводится к системе разностных (алгебраических) уравнений, называемых разностной схемой. Если решение системы разностных уравнений существует и при измельчении сетки стремится к решению поставленной задачи (т.е. сходится), то оно и является искомым численным решением краевой задачи.
При разработке конечно-разностного аналога конкретной задачи тепломассопереноса необходимо рассмотреть, как выбрать сетку и построить разностную схему, определить точность аппроксимации исходной задачи разностной схемой, проверить устойчивость разностной схемы и выяснить скорость сходимости решения разностной задачи к решению исходной задачи тепломассопереноса.
Основное содержание МКР рассмотрим на примере одномерного уравнения теплопроводности; распространение полученных результатов на другие задачи тепломассопереноса не вызывает принципиальных затруднений.
Исходные данные:
Шаг сетки h: 0,25
Число Био bi: 10
Число Пекле Ре: 9
Расчетные данные:
№
Точные значения узловых температур
Схема с разностью
Схема экспоненциальная
Центральной
Прямой
Левой
Узл. температура
Погрешность
Узл. температура
Погрешность
Узл. температура
Погрешность
Узл. Температура
Погрешность
0,001
0,001
27,8
0,002
140,2
0,000
-58,0
0,025
2572,0
0,002
0,002
18,3
0,004
146,0
0,000
-74,6
0,033
2004,2
0,002
0,003
16,8
0,006
133,9
0,001
-64,0
0,042
1590,7
0,004
0,005
15,4
0,009
119,6
0,001
-64,6
0,054
1260,1
0,006
0,007
14,0
0,013
105,7
0,003
-59,8
0,069
994,2
0,010
0,011
12,7
0,019
92,7
0,004
-57,1
0,088
780,3
0,016
0,018
11,3
0,028
80,4
0,007
-52,9
0,112
608,2
0,025
0,028
10,0
0,042
69,0
0,013
-49,0
0,142
469,8
0,040
0,043
8,7
0,063
58,3
0,022
-44,4
0,182
358,4
0,063
0,068
7,4
0,093
48,2
0,038
-39,6
0,232
268,8
0,100
0,106
6,2
0,138
38,8
0,066
-34,3
0,296
196,7
0,158
0,166
4,9
0,206
30,0
0,113
-26,5
0,377
138,7
0,251
0,260
3,6
0,305
21,7
0,195
-22,3
0,482
92,0
0,398
0,407
2,4
0,453
14,0
0,336
-15,5
0,614
54,5
0,631
0,638
1,2
0,673
6,8
0,580
-8,1
0,784
24,3
Средняя кв. погрешность
12,7
86,8
48,7
1071,1
Вывод:
В данной работе были изучены методы конечных разностей. В ходе, которой были заданы исходные данные преподавателем и были сняты расчетные данные. Все расчетные данные обработаны и занесены в таблицу.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при которых тело находится под действием заданной системы сил...
Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...
Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...
Экспертная оценка как метод психологического исследования Экспертная оценка – диагностический метод измерения, с помощью которого качественные особенности психических явлений получают свое числовое выражение в форме количественных оценок...
Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...
