Вывод уравнения неразрывности.
Уравнение неразрывности либо сплошности выражает один из фундаментальных законов природы - закон сохранения массы применительно к жидкой среде.
Рассмотрим объем V, ограниченный поверхностью S (рис. 4.2). Выделим элемент поверхности dS. Пусть
(знак минус, т.к. направления
С другой стороны, приток жидкости в объем приводит к изменению ее массы. При этом, поскольку выделенный объем является постоянным, изменение массы может происходить только за счет изменения ее плотности. Скорость изменения массы можно представить как
либо с учетом того, что
Очевидно, что изменение массы внутри объема должно быть равно массе, поступившей в него извне, т.е.
Применяя преобразование Гаусса-Остроградского, получим:
Равенство нулю интеграла возможно лишь при условии
Это и есть уравнение неразрывности. Поскольку при выводе его не делалось никаких ограничений, то оно справедливо как для установившегося, так и для неустановившегося движений сжимаемой и несжимаемой жидкости. Уравнение (4.3) относится к числу фундаментальных уравнений механики жидкости.
|
- орт внешней нормали, а 
- вектор скорости. Через выделенный элемент dS в единицу времени внутрь объема проникает масса жидкости
.
и 
противоположны). Секундная масса, проникающая в объем через всю поверхность,
.
,
, можно записать
.
, либо
.
. (4.3)
