Физическое моделирование аппаратов с мешалками

 

Найти трехмерные поля скорости и давления в аппарате с мешалкой путем аналитического решения уравнения движения (2.55) и неразрывности (2.16) даже в стационарном однофазном случае не представляется возможным. В связи с этим для описания перемешивания используется метод физического моделирования. Критерии гидродинамического подобия получаются путем преобразования системы дифференциальных уравнений (2.55), (2.16). Определяемым критерием, как правило, является критерий Эйлера, а определяющими – критерии Рейнольдса, Фруда и симплексы геометрического подобия. В качестве характерных величин обычно рассматриваются: перепад давлений между лобовой и кормовой сторонами лопасти вращающейся мешалки Dр; величина, пропорциональная окружной скорости мешалки w_окр; диаметр мешалки d_м. Тогда модифицированные критерии подобия для аппаратов с мешалками, связав окружную скорость с частотой вращения мешалки n, будут иметь вид

w_окр = pd_мn ~ d_мn, (10.4)

, (10.5)

, (10.6)

. (10.7)

Симплексы геометрического подобия будут зависеть от конструкции аппарата и мешалки. Так, например, для аппарата, изображенного на рис. 10.1, приняты следующие обозначения:

D – диаметр (внутренний) аппарата;

H – его высота;

H_ж – высота слоя жидкости в сосуде;

h_м – высота лопасти;

h – расстояние от мешалки до днища аппарата.

В этом случае симплексы геометрического подобия примут вид

; ; ; . (10.8)

Тогда критериальное уравнение, описывающее гидродинамику процесса перемешивания, можно записать как

. (10.9)

Вид критериального уравнения зависит от конструкции мешалки, режима движения и находится обобщением опытных данных.

При перемешивании механическими мешалками различают два режима перемешивания: ламинарный и турбулентный. Ламинарный режим (Re_м < 30) соответствует неинтенсивному перемешиванию, при котором жидкость плавно обтекает кромки лопасти мешалки, захватывается лопастями и вращается вместе с ними. При ламинарном режиме перемещаются только те слои жидкости, которые непосредственно примыкают к лопастям мешалки.

С увеличением частоты вращения мешалки возрастает сопротивление среды вращению мешалки, вызванное турбулизацией пограничного слоя и образованием турбулентного кормового следа в пространстве за движущимися лопастями. Формируется вынужденная циркуляция, которая обеспечивает трехмерное течение жидкости в аппарате. Ориентировочно это соответствует числам Re_м = 10² - 10³.

В области развитой турбулентности (Re_м > 10⁴) происходит интенсивное перемешивание жидкости. Приведенные критические значения критерия Рейнольдса являются приближенными и зависят от конструкции и размеров мешалки и аппарата (сосуда).

На практике при расчете аппаратов с мешалками, как правило, необходимо определить не перепад давлений Dр, а требуемую мощность перемешивающего устройства. Поскольку мощность есть работа, совершаемая за единицу времени, а работа равна произведению силы на перемещение в направлении действия силы, то можно записать:

. (10.10)

Сила, заставляющая вращаться мешалку, уравновешивается силой сопротивления среды, равной перепаду давления, умноженному на площадь лопасти мешалки S. Величину S можно найти как произведение высоты лопасти h_м на ее диаметр d_м. Для нормализованных мешалок эти величины взаимосвязаны . Используя окружную скорость в (10.10), можно представить

, (10.11)

. (10.12)

Подставив Dр из (10.12) в выражение для критерия Эйлера мешалки (10.5), можно получить еще одну его модификацию, называемую критерием мощности K_N:

(10.13)

Критерий мощности имеет зависимость, аналогичную (10.9). В случае, когда действием центробежной силы по сравнению с силой тяжести можно пренебречь (воронка у оси вращения имеет незначительную глубину), исключается влияние критерия Фруда:

, или . (10.14)